тензорный анализ. rot(x/|x|), div(x/|x|), grad(x/|x|)

[const_fadeev]

Добрый день, помогите пожалуйста разобраться тензорным анализом.
с ротором, как я понимаю будет так:
$\operatorname{rot}$$\frac{\vec{x}}{\left| \vec{x}\right|}$$=\nabla_{i}\frac{x_{j}}{\left| \vec{x}\right|}e_{ijk}=\frac{\nabla_{i}x_{j}\left| \vec{x}\right|e_{ijk}-\frac{x_{i}}{\left| \vec{x}\right|}x_{j}e_{ijk}}{{\left| \vec{x}\right|}^2}=0$
тк в первом слагаемом зануляется $e_{iik}$, во втором векторное произведение самого на себя.
правильно ли делаю? чему будет равна дивергенция?
градиента, я так понимаю существовать не будет, потому что $x/|x|$ - вектор.

[svv]

Да, вычисление правильное. Как именно целесообразно вычислять — зависит от того, чем Вам разрешено пользоваться. Хочется использовать то, что векторное поле $\mathbf e_r=\frac{\mathbf r}{r}$ центральносимметрично. Хорошо, если известны выражения дифференциальных операторов в сферической системе, например
$\operatorname{div}\mathbf{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( A_r r^2 \right) + \frac{1}{r \sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( A_\theta \sin{\theta} \right) + \frac{1}{r \sin{\theta}} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}$
Тогда просто подставляем $A_r=1, A_\theta=0, A_\varphi=0$.

Если эта формула незнакома, можно использовать теорему Гаусса-Остроградского, из которой следует, что если поле $\mathbf A$ имеет вид $A_r(r)\mathbf e_r$, то
$r^2\operatorname{div}\mathbf A=\frac d {dr}\left(r^2 A_r\right)$

Если и это нельзя, вычисляйте тем же методом, что и ротор.

const_fadeev в сообщении #872702 писал(а):

градиента, я так понимаю существовать не будет, потому что $x/|x|$ - вектор.

Можно ли находить градиент от вектора? Здесь ситуация как в известном анекдоте. Градиентом тензора $T_{jk\ell}$ называется тензор с компонентами $\nabla_i T_{jk\ell}$, но каков объем материала в Вашем курсе — не знаю.

[const_fadeev]

тогда правильно ли я понимаю, что:
\operatorname{div}\frac{\vec{x}}{\left| \vec{x}\right|}=\frac{2}{\left| \vec{x}\right|}

а с градиентом то как быть? допустим, он будет существовать, как Вы сказали. но я дошел только вот до такого момента:

$$$\nabla_{i}\frac{x_{j}}{\left| \vec{x}\right|}=\frac{\delta _{ij}\left| \vec{x}\right|-\frac{x_{i}x_{j}}{\left| \vec{x}\right|}}{\left| \vec{x}\right|^{2}}$$$

а дальше как?

[Munin]

А дальше никак, это и есть тензорная запись градиента.

-- 07.06.2014 18:50:44 --

Ну, полезно посмотреть, например, что он собой представляет как линейный оператор.