Длина дуги кривой, заданной параметрически

[MestnyBomzh]

$x=\cos^4 t, y = \sin^4 t$. Нужно найти длину дуги этой кривой.
Нужно как-то доказать, что при при $t \in [0; \frac{\pi}{2}]$ функция проходит все свои возможные значения. Я предполагаю, что это так, потому что период синуса и косинуса в четных степенях $\pi$ Но, как я понимаю, при $t \in (\frac{\pi}{2}; \pi]$ наши точки будут повторяться, из-за симметричности косинуса и синуса.
Сам интеграл: $L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{16 \cos^6 t \sin^2 t + 16 \sin^6 t \cos^2 t} dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 4\cos t \sin t \sqrt{\cos^4 t + \sin^4 t} dt$.
Вот дальше не знаю как, подскажите

[Otta]

Выражение под корнем (и вне тоже) преобразуйте, тогда замену должны увидеть сразу.

[MestnyBomzh]

Что-то типа: $\sin^4 t + \cos^4 t = 1 - 2 \sin^2 t \cos^2 t = 1 - 2 \sin^2 t + 2\sin^4 t$.
Ну за корнем стоит $\cos t \sin t$, поэтому неплохо было бы что-то вроде $u = sin^2 t$.

[Otta]

Нет, это плохо. Попробуйте иначе.

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #872663 писал(а):

Что-то типа: $\sin^4 t + \cos^4 t = 1 - 2 \sin^2 t \cos^2 t = 1 - 2 \sin^2 t + 2\sin^4 t$.

Первое верно, а вот второе -- совершенно некстати. Не забывайте, что квадрат синуса (неважно какого аргумента) -- это в некотором смысле то же самое, что и квадрат косинуса.

[provincialka]

Перед корнем стоит выражение $\sin x\cos x$. Его можно занести под дифференциал тем или иным способом. Например, свести к двойному углу.

[StaticZero]

Попробуйте свести к двойному углу. Там замена очевидна.

[MestnyBomzh]

Всем спасибо, задачу решил!