Нормальные и касательные напряжения

[Jobbic]

Можно ли выразить нормальные и касательные напряжения через потенциальную энергию деформации?

[Oleg Zubelevich]

думаю, там должно быть что-то типа $-dV=p^{ij}d\varepsilon_{ij}$

[Munin]

Jobbic в сообщении #872582 писал(а):

Можно ли выразить нормальные и касательные напряжения через потенциальную энергию деформации?

Можно наоборот, энергию через напряжения.

Напряжений много разных, а энергия одна. Когда вы выражаете энергию через напряжения, то происходит потеря информации: какое именно напряжение имело место. И восстановить её по энергии нельзя.

[Oleg Zubelevich]

Седов МСС том 2:

[Munin]

А. Здесь "энергия" как "формула для энергии (при всевозможных $\varepsilon_{ij}$)". Вы правы.

Я-то имел в виду "число из числа".

[Jobbic]

Я же писал нормальные и касательные напряжения

[Munin]

А тензор $p^{ij}$ их все в себя включает. Или вы о чём-то другом, о границе, например?

[Jobbic]

Посмотрел эту формулу в Седов МСС том 2, это совсем не то о чем идет речь!
Это общее частное диф. уравнение приводит к обобщенному закону Гука, если открыть учебник по классическому сопромату то там все намного проще, зачем парится с этим диф. уравнением, если уже все давно разложено по полочкам. Добавлю, температурные деформации мне вообще не интересны как таковые, их можно опустить, также речь идет о твердом изотропном теле без каких либо упрочнений.

[Munin]

Jobbic в сообщении #874242 писал(а):

если открыть учебник по классическому сопромату то там все намного проще

Что не значит, что правильнее. Это всего лишь упрощения от дифференциальных уравнений теории упругости (МСС).

Jobbic в сообщении #874242 писал(а):

если уже все давно разложено по полочкам

А чего вам не хватает, разложения тензора на диагональные и недиагональные компоненты?

[Jobbic]

Ну, может Вы знаете чего я не знаю! Помните пословицу "одна голова хорошо, а две лучше" с тензорным исчислением знаком, проблем не будит. За помощь спасибо!

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Формальное определение тензора напряжений следующее.

Зададим в области $D\subset\mathbb{R}^3$ нашего физического пространства локальные координаты $x^i$ с базисными векторами $e_i(x)$ и метрикой $g_{ij},\quad g=\det(g_{ij})$. Будем считать, что область $D$ заполнена сплошной средой.

Запишем дифференциальную форму объема через "дискриминантный тензор":

$$\omega=\sqrt g\epsilon_{ijk}dx^i\otimes dx^j\otimes dx^k=\sqrt g dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3$$

Рассмотрим произвольный индивидуальный подъобъем $W\subset D$.
Постулируется, что сила, действующая на поверхность $\partial W$ со стороны объемлющей среды, вычисляется с помощью тензора $p^{ij}(x),\quad x\in D$ по формуле

$$F=\int_{\partial W}p^{ij}\sqrt g\epsilon_{jkn}e_i\otimes dx^k\otimes dx^n$$

$$=\int_{\partial W}\sqrt g\big(p^{i1}e_i\otimes dx^2\wedge dx^3+p^{i2}e_i\otimes dx^3\wedge dx^1+p^{i3}e_i\otimes dx^1\wedge dx^2\big).$$

$p^{ij}$ называется тензором напряжений

[Jobbic]

По моему Вы усложняете задачу, представлять тензор напряжений в такой форме не очень удобно, еще и с логической символикой, зачем это, матричная форма или Δ(dV) куда проще. Но речь идет о потенциальной энергии как работы внешних сил.
Кто, что скажет вот по этой формуле: