убывающая фундаментальная система окрестностей

[Padawan]

X-топологическое пространство, x_0\in X. Требуется построить убывающую фундаментальную систему окрестностей точки x_0 (т.е. линейно упорядоченную отношением включения).

[neo66]

Так годится? http://www.intuit.ru/department/ds/theorysets/11/2.html

[Bod]

Это и все условие?

[Padawan]

neo66 писал(а):

Так годится? http://www.intuit.ru/department/ds/theorysets/11/2.html

Нет, не пойдет! Речь идет о выделении линейно упорядоченного конфинального подмножества данного направленного множества.

Добавлено спустя 14 минут 27 секунд:

вопрос снимается: контрпример - тихоновское произведение [0,1] в несчётном числе.

[MMyaf]

Если рассматривать не любые топологические пространства, а пространства с первой аксиомой счетности. То, по-видимоу, для таковых задача имеет право на жизнь. Но решить такую задачу, наверное, будет крайне тяжело, поскольку мы не знаем самой топологии (в задаче дано только множество).
Например, рассмотрим метрическое пространство, оно же является топологическим пространством с первой аксиомой счетности, тогда ФСО для точки

$$x_0$$

есть система открытых шаров

$$B(x_0,1/n)$$

[Someone]

Padawan писал(а):

X-топологическое пространство, x_0\in X. Требуется построить убывающую фундаментальную систему окрестностей точки x_0 (т.е. линейно упорядоченную отношением включения).

В произвольном топологическом пространстве это невозможно. Однако если точка имеет счётную фундаментальную систему окрестностей (= базу), то линейно упорядоченная по включению строится без труда. А иногда линейно упорядоченная по включению база существует и в несчётном случае.