2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Поток векторного поля.
Сообщение20.07.2007, 09:50 
Аватара пользователя
Поток векторного поля.


Вопрос по решению задачи

Есть функция векторного поля $$F=Pi+Qj+Rk$$
где $$P,Q,R$$ функции от $$xyz$$.
Требуется найти поток векторного поля F
через плоскость треугольника $\sigma$ вырезанного
из плоскости $$p(x,y,z)$$ координатными плоскостями в том направлении
нормали к плоскости , которая образует с осью Oz острый угол.

Я хочу воспользоваться формулой выражения потока
$$\int_{\sigma}^{} \int_{}^{} (Pcos(a)+Qcos(b)+Rcos(c)) d\sigma$$
где $$cos(a) cos(b) cos(c)$$ координаты единичного вектора нормали к поверхности.
(Видно что это поверхностный интеграл)
Далее его(после составления) можно считать таким:
$$\int_{\sigma}^{} \int_{}^{} \phi (x,y,z) d\sigma$$ это же
$$\int_{S}^{} \int_{}^{} \phi (x,y,z(x,y)) \sqrt{1+{{(\frac {dz} {dx})} ^2} +{{(\frac {dz} {dy}}) ^2}} dxdy$$
Только последний является обычным двойным интегралом по области S- Проекции поверхности $$\sigma$$ на OXY

ВОПРОС:
Как в таком случае выражается в вышесказанных выкладках z(x,y) ?
Как составить единичный вектор нормали, что бы он был ориентирован с нужной стороны поверхности? Заранее спасибо.

 
 
 
 
Сообщение20.07.2007, 15:08 
1)$$p(x,y,z)=Ax+By+Cz+D=0$$-плоскость.$$z(x,y)=-\frac{D+Ax+By}{C}$$
2)$$\vec n=(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}})$$-нормаль к плоскости. $$\vec oz=(0,0,1)$$.
Скалярно умножаем $$\vec n$$ на $$\vec oz$$. Если результат умножение положителен, то угол между $$\vec n$$ и $$\vec oz$$ острый. Если отрицателен, то нормаль надо переориентировать, умножив ее на -1.

 
 
 
 
Сообщение20.07.2007, 16:48 
Аватара пользователя
MMyaf большое спасибо. Буду пытаться решить свое задание

 
 
 
 
Сообщение21.07.2007, 13:07 
Аватара пользователя
Вопрос еще такой

$$\int_{\sigma}^{} \int_{}^{} \phi (x,y,z) d\sigma$$ это же
$$\int_{S}^{} \int_{}^{} \phi (x,y,z(x,y)) \sqrt{1+{{(\frac {dz} {dx})} ^2} +{{(\frac {dz} {dy}}) ^2}} dxdy$$
Только последний является обычным двойным интегралом по области S- Проекции поверхности $$\sigma$$ на OXY

Годится ли данная формула для подсчета
получившегося интеграла по поверхности в случае плоскости ?
В данную формулу уже вошла проекция вектороного поля $$F$$ на указанную в задаче нормаль и все это слилось в $$\phi (x,y,z) $$

 
 
 
 
Сообщение30.07.2007, 16:49 
Аватара пользователя
GlazkovD писал(а):
Годится ли данная формула для подсчета
получившегося интеграла по поверхности в случае плоскости ?

Годится.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group