Разложение в ряд Фурье тригонометрических функций

[Seergey]

Otta в сообщении #872386 писал(а):

Seergey в сообщении #872383 писал(а):

Т. к. 0 в знаменателе это в любом случае разрыв

В каком знаменателе ноль? Интегрируется функция, непрерывная по совокупности переменных на всем пространстве. Результат обязан быть непрерывен всюду.

$\int_0^{2 \pi } \cos ^4(x) \cos (a x) \, dx=\frac{\left(a^4-16 a^2+24\right) \sin (2 \pi a)}{a \left(a^4-20 a^2+64\right)}$

При $a=2$ в знаменателе 0. Просто непрерывности недостаточно

[Otta]

Seergey в сообщении #872390 писал(а):

Просто непрерывности недостаточно, нужна равномерная непрерывность для интергирования

Достаточно. Тем более, Вы не уточняете, на каком множестве Вам нужна равномерная непрерывность.
Вас не смущает, что левая часть явно определена при $a=2$, а правая - нет?
Еще один наводящий вопрос: функция
$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, x\ne 0,\\1, x=0\end{cases}$
имеет устранимый разрыв в нуле или как?

[Seergey]

Otta в сообщении #872391 писал(а):

Seergey в сообщении #872390 писал(а):

Просто непрерывности недостаточно, нужна равномерная непрерывность для интергирования

Достаточно. Тем более, Вы не уточняете, на каком множестве Вам нужна равномерная непрерывность.
Вас не смущает, что левая часть явно определена при $a=2$, а правая - нет?
Еще один наводящий вопрос: функция
$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, x\ne 0,\\1, x=0\end{cases}$
имеет устранимый разрыв в нуле или как?

Эта непрерывная в 0.

А почему так получается, что при взятии интеграла функция получается как бы разрывной? И в ответе тогда нужно писать дополнительно при взятии этого интеграла чему равна функция при 2 и 4?

[Otta]

Да не получается она разрывной. Она в точности того же типа, что и функция выше. Вне двойки и четверки она вычисляется по одному закону, а в этих точках по тому закону не может быть вычислена. Но значения функции в этих точках таковы, что функция непрерывна.

Seergey в сообщении #873135 писал(а):

И в ответе тогда нужно писать дополнительно при взятии этого интеграла чему равна функция при 2 и 4?

Если Вы заняты именно поиском интеграла, то да, нужно. Если Вы ищете коэффициенты Фурье (возвращаясь к исходной задаче), то целых значений, в которых эти к-ты будут ненулевые, раз, два,три и обчелся. Ясно, что если знаменатель ненулевой, то коэффициент равен нулю. А посмотреть все точки, где знаменатель нулевой, не так и трудно, "в лоб" вычислив нужный интеграл. Их всего три.

[Seergey]

А то, что если взять предел этой функции при стремлении а к 2 получается тоже самое значение это чистая случайность и брать предел от этой функции бессмысленно?

-- 08.06.2014, 19:07 --

Или это как-то связано с предельным переходом под знаком интеграла, зависящего от параметра?

[Otta]

Seergey в сообщении #873211 писал(а):

А то, что если взять предел этой функции при стремлении а к 2 получается тоже самое значение это чистая случайность и брать предел от этой функции бессмысленно?

Нет, это не случайность. Это как раз результат непрерывности по $a$. Хотите ею пользоваться - пользуйтесь, переходите к пределу, но тогда сперва нужно обосновать непрерывность. В противном случае - не имеете права. То есть право переходить к пределу имеете, а утверждать, что этот предел равен значению $I$ в соответствующей точке - нет.

[Vince Diesel]

Seergey в сообщении #873211 писал(а):

Или это как-то связано с предельным переходом под знаком интеграла, зависящего от параметра?

Ну, допустим, удалось доказать, что ответ — аналитическая функция от параметра $a$. Такая, какая нужно. Целая там. Или имеет конечное число полюсов. Тогда для нее есть разложение в произведение Вейерштрасса (похожее на разложение на множители для многочленов). Нам известно, что все почти все целые точки являются нулями этой функции. А произведение соотв. множителей по по целым точкам дает синус. Поэтому , чтобы исключить нули в точках $\pm2$, $\pm4$ в разложении Вейерштрасса, надо поделить синус на $(a^2-4)(a^2-16)$. Вот и получается та же ситуация, что и с уже упоминавшейся функцией $\frac{\sin\pi x}x$, которая будет иметь нули во всех целых точках, кроме нуля. Ее разложение Вейерштрасса

$$ \frac{\sin\pi x}x=\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right). $$

Тогда в $\pm2$, $\pm4$ автоматом будет возникать неопределенность, как в написанном выше примере для $\frac{\sin\pi x}x$. А если представлять функцию произведением Вейерштрасса, то никаких особенностей не будет.