A=A*, A^2=A^3. Как доказать, что A=A^2?

[Neon]

Пусть $A$ - матрица линейного оператора,
$A^*$ - сопряженная матрица к матрице $A$ и
$A=A^*, A^2=A^3$.

Вопрос: как доказать, что $A=A^2$?


Я думал так ( $(x,y)$ - скалярное произведение $x,y$ ):
$(Ax,Ay)=(A^2 x,y)=(A^3 x,y)=(A^2 x,Ay),$
откуда следовало бы, что $A=A^2$.

Но это отсюда не следует.

[Lia]

Neon
Формулы оформите все, условие задачи сформулируйте в теме полностью.

[ewert]

Neon в сообщении #872132 писал(а):

$A=A^*, A=A^3$.

Вопрос: как доказать, что $A=A^2$?

Никак. На минус единичной матрице это как-то не вполне выполняется.

[Neon]

А если $A^2 = A^3$, а не $A = A^3$?

-- 05.06.2014, 18:07 --

Вопрос снят. Решение:

Если $A = A^*$, значит, пространство - Гильбертово, со скалярным произведением.
Рассмотрим:
$0 = <(A^3-A^2) x, y> = $
$<A(A^2-A) x, y> = $
$<(A^2-A)x, (A^*)y> = $
$<(A^2-A)x, Ay>$
Если положить $y = (A-E)x$, то получим:
$<(A^2-A)x, (A^2-A)x> = 0$
Следовательно, $(A^2-A)x = 0$ для любого $x$.
Получается, $A^2-A = 0$