Алгебра. Симметрические функции.

[julyk]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста решить задачу.

Выразить симметрическую функцию $\frac{\left(x_1-x_2\right)^2}{x_1x_2} + \frac{\left(x_1-x_3\right)^2}{x_1x_3} + \frac{\left(x_2-x_3\right)^2}{x_2x_3}$ через коэффициенты уравнения $a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3 = 0.$

Решение:
$\frac{\left(x_1-x_2\right)^2}{x_1x_2} + \frac{\left(x_1-x_3\right)^2}{x_1x_3} + \frac{\left(x_2-x_3\right)^2}{x_2x_3} = \frac{x_1^2x_3 + x_2^2x_3 + x_1^2x_2 + x_2x_3^2 + x_1x_2^2+x_1x_3^2 - 6x_1x_2x_3}{x_1x_2x_3}-$ раскрыли скобки.

Внизу я вижу сразу, что стоит $\sigma_3.$ Могу я отдельно рассмотреть числитель? Если рассматривать отдельно, то получится $\sigma_1^2\sigma_3 + a\sigma_3.$
И общее выражение получится $\frac{\sigma_1^2\sigma_3 + a\sigma_3}{\sigma_3}.$ Можно так писать? И нужен ли коэффициент $b$ в знаменателе.

Мне кажется, можно, но нужен коэффициент $b$, и дальше уже находим дальше все по плану(подставляем разные $x$, вычисляем $\sigma$ и т.д.)

Подскажите пожалуйста:)

[Sonic86]

julyk в сообщении #871664 писал(а):

через коэффициенты уравнения $a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3 = 0.$

julyk в сообщении #871664 писал(а):

получится $\sigma_1^2\sigma_3 + a\sigma_3.$

julyk в сообщении #871664 писал(а):

И нужен ли коэффициент $b$ в знаменателе.

Похоже, что у Вас баг с обозначениями. Вы имели ввиду корни многочлена $x^3+ax^2+bx+c=0$?

julyk в сообщении #871664 писал(а):

Внизу я вижу сразу, что стоит $\sigma_3.$ Могу я отдельно рассмотреть числитель?

А кто Вам не дает? Рассматривать можно что угодно.

julyk в сообщении #871664 писал(а):

И общее выражение получится $\frac{\sigma_1^2\sigma_3 + a\sigma_3}{\sigma_3}.$ Можно так писать?

Если $A$ равно $B$, то можно писать $A=B$, очевидно, правда?

julyk в сообщении #871664 писал(а):

но нужен коэффициент $b$

Кому нужен, зачем? $0\cdot b$ - в таком виде пойдет?

А! Самое главное! У Вас в ответе дробь должна иметь вид $f(a_0,a_1,a_2,a_3)$ (ну или там $f(a,b,c)$ - Вы определитесь), а у Вас сейчас она имеет вид $f(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)$.

[julyk]

Погодите:)
Мне надо выразить через корни $a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3 = 0,$ $b$ не отсюда, до этого пока далеко.

Я к тому, что если я рассматриваю отдельно числитель, то получаю $f(x_1,x_2,x_3)=\sigma_1^2\sigma_3+a\cdot \sigma_3,$ $x$ здесь это $x$ числителя, полином с коэффициентами $a$ пока не трогаем.

И вот в чем вопрос, дальше, я записываю полностью $f(x_1,x_2,x_3)$ как $\frac{\sigma_1^2\sigma_3+a\cdot \sigma_3}{\sigma_3}$ и вычисляю только коэффициент $a$, или $\frac{\sigma_1^2\sigma_3+a\cdot \sigma_3}{b\cdot \sigma_3}$ и нужно считать $a,b$? А вообще наверное можно сократить на $\sigma_3$. Получится $\sigma_1^2+a.$ или $\frac{\sigma_1^2+a}{b}?$

P.S. Может быть $b$ будет равен $0,$ но как все-таки правильно?)

[Sonic86]

julyk в сообщении #871674 писал(а):

А вообще наверное можно сократить на $\sigma_3$.

Кстати да!

julyk в сообщении #871674 писал(а):

Получится $\sigma_1^2+a.$

Нет, можно утверждать, что получится $\sigma_1^2-6$. Чтобы утверждать, что получится $\sigma_1^2+a$, надо знать, что такое $a$, а это никому неизвестно.

julyk в сообщении #871674 писал(а):

И вот в чем вопрос, дальше, я записываю полностью $f(x_1,x_2,x_3)$ как $\frac{\sigma_1^2\sigma_3+a\cdot \sigma_3}{\sigma_3}$ и вычисляю только коэффициент $a$, или $\frac{\sigma_1^2\sigma_3+a\cdot \sigma_3}{b\cdot \sigma_3}$ и нужно считать $a,b$?

Я не могу понять, что за $a,b$? Никто не знает, что такое $a,b$, поведайте о них! Тем более, откуда они у Вас вообще взялись?
Кроме того, что значит "вычисляю только коэффициент $a$" - зачем? по какой формуле? из каких соображений?
Вам надо выразить выражение через $a_j$, Вы его выразили через $\sigma_j$, прекрасно, осталась одна простая замена и вдруг внезапно какие-то $a,b$, зачем, откуда, почему?

[Brukvalub]

Вся "беда" вашего решения состоит в том, что по т. Виета именно коэффициенты многочлена являются значениями симметрических многочленов от корней этого многочлена, но не наоборот. Зачем тогда преобразовывать одни симметрические многочлены в другие, если не прогнозируется дальнейший ход решения?

[julyk]

Я просто делаю так, как делали в классе, но может(скорее всего) Вы правы и тут все проще))
Вот у нас есть условия.
$k_1+k_2+k_3=3$

$k_1\geq k_2 \geq k_3$

$\left(k_1, k_2, k_3\right)\leq \left(2,0,1\right).$

Можно рассмотреть такие комбинации:
$\left(2, 0, 1\right) - \sigma_1^2\sigma_3$

$\left(1, 1, 1\right) - \sigma_3.$
И дальше мы записывали в общем виде эту функцию: $f\left(x_1,x_2,x_3\right) = \sigma_1^2\sigma_3 - a\sigma_3.$ Вот, и дальше пробовали $x_1=1,x_2=1,x_3=0,$ считали $\sigma$ и подставляли иксы в формулу(исходную), приравнивали и находили коэффициенты.

И в моем случае получили выражение $\frac{\sigma_1^2\sigma_3-a\sigma_3}{\sigma_3} = \sigma_1^2-a.$

Пусть $x_1=x_2=x_3=10,$ тогда $\sigma_1=\sigma_2=3, \sigma_3=1.$
$9+a=6-6=0.$
$a=-9.$
И далее по решению, там понятно).

Поправьте меня, пожалуйста, если неверно и объясните свою точку зрения).

P.S.Несчастный $b$-это такой же коэффициент как $a,$ который я вводила вот здесь $f\left(x_1,x_2,x_3\right) = \sigma_1^2\sigma_3 - a\sigma_3,$ только я хотела запихнуть его в уже полную $\frac{\sigma_1^2\sigma_3-a\sigma_3}{\sigma_3}$ в знаменатель. Но наверное он там не нужен.

-- 04.06.2014, 11:45 --

Похоже придумала я себе проблему на пустом месте). Даже если мы смотрим таким образом, то перед первой $\sigma$ никакой коэффициент не ставится). А у меня в знаменателе всего одна $\sigma_3.$ Но мне все равно интересно Ваше мнение о решении)

[iifat]

julyk в сообщении #871686 писал(а):

Я просто делаю так, как делали в классе

Таки надеюсь, что в классе вы делали правильно, а не как нам тут рассказываете.

julyk в сообщении #871686 писал(а):

$k_1\geq k_2 \geq k_3$

Именно!

julyk в сообщении #871686 писал(а):

$\left(k_1, k_2, k_3\right)\leq \left(2,0,1\right)$

$\left(2,1\right)$ и $\sigma_1\sigma_2$! И ничего не сокращается.

[julyk]

$k_1, k_2, k_3-$ степени при соответствующих $\sigma.$
$\left(2,0,1\right)-$ старшая степень многочлена.
2 при $\sigma_1$
0 при $\sigma_2$
1 при $\sigma_3$
$\sigma_2^0=1,$ получим $\sigma_1\sigma_3.$
Что здесь не так???

[Sender]

Условие $k_1+k_2+k_3=3$ было бы верным, если бы все однородные симметрические многочлены $\sigma_1,\;\sigma_2,\;\sigma_3$ имели степень $1$. А как на самом деле?