Степенной ряд и равномерная сходимость

[Keter]

1) Если степенной ряд равномерно сходится на $(-\infty, +\infty)$, то он многочлен.

2) Если $A=(-r, r), r>0$ -- множество сходимости степенного ряда, то он сходится неравномерно на $(-r, r).$ Где $r$ -- радиус сходимости.

2) Пусть дан степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n x^n, x\in\mathbb{R}, (1).$ Его множество сходимости $A.$ Радиус сходимости $r, (0<r<+\infty).$ Положим $c=r.$ Тогда $\forall n\ge 0, \forall x\in (-r, r): |a_n x^n| \le |a_n|c^n.$ Но ведь ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n c^n$ расходится. Значит, (1) сходится неравномерно на $(-r, r).$
Это правильно?

Как 1) доказать? Там же и в обратную сторону верно?

[ИСН]

1 - так, что с какого-то момента все слагаемые должны быть ограничены, а как степенная функция может быть ограничена?
2 - тут у Вас non sequitur. Вы доказали, что члены ряда по модулю меньше чего-то. Как из этого следует неравномерная сходимость? Это подобно такому рассуждению: ${1\over n}<n$, а $\sum n$ расходится, значит, и $\sum{1\over n}$ тоже расходится. Добро победило зло, но у победы какой-то странный привкус.

[Keter]

1 - Что должно выполняться для каждого $x\in (-\infty, +\infty)$ ? Допустим, радиус сходимости $r=+\infty,$ так ведь? Тогда $\limsup\imits_{n\to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=0,$ но ведь, для многочлена, $a_n$ - это фиксированное число для каждого $n.$

2 - Уже понял, что неправильно. Просто подумал о признаке Вейерштрасса... Как тогда доказать, что сходится неравномерно?...

[Otta]

На п.1 ИСН Вам исчерпывающе ответил.

2: Докажите, что если степенной ряд сходится равномерно на интервале, то он сходится и в граничных точках этого интервала.

[ex-math]

Добавлю еще два слова, чтоб наверняка: критерий Коши.