Решить уравнение в кольце

[Mary84]

В кольце $\mathbb{F}_{2^3}$, заданном неприводимым полиномом с корнем $ t $, решить уравнение $x^2+t=0$.

$\mathbb{F}_{2^3}=\left \{a+bt+ct^2|a, b, c \in \mathbb{F}_2 \right \}$

Предполагаю, что нужно решать уравнение $x^2+t \equiv 0 (mod \quad 8)$. И ещё, нужно найти полином, который задаёт расширение, но я не знаю, как это сделать. Подскажите, пожалуйста, как действовать.

[nnosipov]

Mary84 в сообщении #871506 писал(а):

И ещё, нужно найти полином, который задаёт расширение, но я не знаю, как это сделать.

Подойдёт любой полином 3-й степени, неприводимый над $\mathbb{F}_2$.

Mary84 в сообщении #871506 писал(а):

Предполагаю, что нужно решать уравнение $x^2+t \equiv 0 (mod 8)$.

Ни в коем случае. Не следует путать поле $\mathbb{F}_8$ с кольцом вычетов $\mathbb{Z}_8$.

[Mary84]

Можно взять $x^3+1$, например.

[nnosipov]

Mary84 в сообщении #871519 писал(а):

Можно взять $x^3+1$, например.

Неприводимый нужен.

[Mary84]

Да, нужен такой, чтобы на множители не раскладывался.

[AV_77]

А нужен ли здесь многочлен? Может достаточно просто воспользоваться равенством $t = (t^4)^2$?

[Mary84]

AV_77 в сообщении #871528 писал(а):

А нужен ли здесь многочлен? Может достаточно просто воспользоваться равенством $t = (t^4)^2$?

Извините, но не знаю, как этим воспользоваться. И почему степень 4, а не 3.


А если $x$ представить в общем виде элемента кольца и попробовать решить. Или это неверный способ ?

$x^2+t=0$
$(a+bt+ct^2)^2+t=0$

[AV_77]

Mary84 в сообщении #871541 писал(а):

Извините, но не знаю, как этим воспользоваться.

Чему равно $(a+b)^2$ в поле $\mathbb{F}_8$?

Mary84 в сообщении #871541 писал(а):

И почему степень 4, а не 3.

Здесь только можно посоветовать учебник почитать.

[nnosipov]

AV_77 в сообщении #871528 писал(а):

А нужен ли здесь многочлен?

Как я понял, в самом задании требуется построить конкретное расширение $\mathbb{F}_2$. К тому же, если бы речь шла не о корнях $x^2+t$, а о корнях, например, $x^2+x+t$, было бы важно, с помощью какого неприводимого многочлена получено $\mathbb{F}_8$.

Mary84 в сообщении #871541 писал(а):

А если $x$ представить в общем виде элемента кольца и попробовать решить. Или это неверный способ ?

Этот способ вполне годится. Просто в Вашем конкретном случае можно короче, если

AV_77 в сообщении #871528 писал(а):

воспользоваться равенством $t = (t^4)^2$

[Mary84]

Да, $x^3+1$ приводимый, ведь по сумме кубов раскладывается. А вот $x^3+x+1$ должен подойти.

[nnosipov]

Mary84 в сообщении #871719 писал(а):

А вот $x^3+x+1$ должен подойти.

Да, этот годится.

[Mary84]

Как использовать $t=(t^4)^2$ пока не придумала. Если подставить в уравнение и попробовать найти $x$ получается комплексное значение.Так быть не может.

$x^2+t=0$
$x^2+(t^4)^2=0$
$x^2=-((t^4)^2)$

А если рассмотреть дискриминант? Хотя вряд ли это что-нибудь даст.

[nnosipov]

Mary84 в сообщении #871736 писал(а):

А если рассмотреть дискриминант?

Будет очень смешно :) Вот подсказка: $-1=1$ (кстати, почему?).

[Mary84]

Так мы же в $\mathbb{F}_2 $. Вычет $-1$ это и есть $1$)

[nnosipov]

Да, мы именно там. Ну, и как теперь быть с этим квадратным уравнением?