Компоненты тензора в системе координат

[Pupkin]

Здрасти,

рассматриваю задачу о нахождении компонент тензора ${T_{ik}}$, если известны ${T'_{ik}}$ . Имеется такое промежуточное выражение:
${\alpha_{mi}}{\alpha_{lr}}{T'_{ml}}={\alpha_{mi}}{\alpha_{lr}}{\alpha_{mn}}{\alpha_{lk}}{T_{nk}}$

Которое преобразуется в следующее:

${\alpha_{mi}}{\alpha_{lr}}T'_{ml}={\delta_{ni}}{\delta_{rk}}{T_{nk}}$

И суммируя по n и k получаем ${T_{ir}}={\alpha_{mi}}{\alpha_{lr}}{T'_{ml}}$

Мои вопросы:

Важен ли порядок индексов при дельте Кронекера, то есть можна ли написать во втором выражении $\delta_{in}$ вместо $\delta_{ni}$?

Правильно ли я понял, что $\delta_{rk}{T_{nk}}={T_{rn}}$?
Или $\delta_{rk}{T_{nk}}$ можна записать и как ${T_{nr}}$?

Есть ли разница в замене ${T_{ir}}$ на ${T_{ri}}$ в последнем выражении?

[Pupkin]

Ну и базис, естественно, ортогональный.

[svv]

Pupkin в сообщении #871373 писал(а):

Важен ли порядок индексов при дельте Кронекера, то есть можна ли написать во втором выражении $\delta_{in}$ вместо $\delta_{ni}$?

В символе Кронекера порядок индексов не важен.

Pupkin в сообщении #871373 писал(а):

Правильно ли я понял, что $\delta_{rk}{T_{nk}}={T_{rn}}$?

Нет, $\delta_{rk}{T_{nk}}={T_{nr}}$. Пусть $r=3, n=2$ и мы работаем, для примера, в $\mathbb R^4$, индексы пробегают значения от $1$ до $4$. Тогда
$\delta_{3k}{T_{2k}}=\delta_{31}{T_{21}}+\delta_{32}{T_{22}}+\delta_{33}{T_{23}}+\delta_{34}{T_{24}}=0+0+T_{23}+0$
т.е. $T_{nr}=T_{23}$, а не $T_{rn}=T_{32}$. Было бы странно в результате суммирования компонент вида $T_{2k}$ получить $T_{32}$.

Мнемоническое правило: при свертке тензора с символом Кронекера по какому-то индексу, немой индекс суммирования в тензоре заменяется на другой индекс символа Кронекера. В данном случае в $T_{nk}$ индекс $k$ заменяется на тот в символе Кронекера, который не $k$, то есть на $r$. Получаем $T_{nr}$.

Pupkin в сообщении #871373 писал(а):

Есть ли разница в замене ${T_{ir}}$ на ${T_{ri}}$ в последнем выражении?

Да, разница есть. Вы можете заменять $T_{ir}$ на $T_{ri}$, только если известно (доказано или дано), что тензор симметричный.

[Pupkin]

Премного благодарен за полный ответ. Прояснилось.