Закон кубической взаимности по модулям простых чисел

[Коровьев]

1. Предложение.
Пусть даны простые числа $P,Q \equiv 1\left( {\bmod 3} \right) $
$g,r $ их первообразные корни, соответственно.
$ P = \left( {a + b\varepsilon } \right)\left( {a + b\varepsilon ^2 } \right),Q = \left( {c + d\varepsilon } \right)\left( {c + d\varepsilon ^2 } \right) $
$ \varepsilon = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i,\varepsilon ^2 + \varepsilon + 1 = 0,\varepsilon ^3 = 1 $
$a + b\varepsilon ,c + d\varepsilon $ - примарные.
Обозначим
$$ s = r^{\frac{{Q - 1}}{3}} P^{Q - 1} + g^{\frac{{P - 1}}{3}} Q^{P - 1} $
Тогда
$$\[ \left\{ \begin{array}{l} \left( {a + bs } \right)^{\frac{{Q - 1}}{3}} \equiv s^k \left( {\bmod Q} \right) \\ \left( {c + ds} \right)^{\frac{{P - 1}}{3}} \equiv s^k \left( {\bmod P} \right) \\ \end{array} \right. \]$
при некотором $k=0,1,2$

2. Доказательство.
Обозначим
$$\[ \varsigma _P _{\left( 0 \right)} = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k} } } ,\varsigma _P _{\left( 1 \right)} = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k + 1} } } ,\varsigma _P _{\left( 2 \right)} = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k + 2} } } \]$

$$\[ \varsigma _Q _{\left( 0 \right)} = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{Q - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{Q}r^{3k} } } ,\varsigma _Q _{\left( 1 \right)} = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{Q - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{Q}r^{3k + 1} } } ,\varsigma _Q _{\left( 2 \right)} = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{Q - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{Q}r^{3k + 2} } } \]$

$$\[ \left\{ \begin{array}{l} \eta _P = \varsigma _P _{\left( 0 \right)} + \varsigma _P _{\left( 1 \right)} \varepsilon + \varsigma _P _{\left( 2 \right)} \varepsilon ^2 \\ \eta _Q = \varsigma _Q _{\left( 0 \right)} + \varsigma _Q _{\left( 1 \right)} \varepsilon + \varsigma _Q _{\left( 2 \right)} \varepsilon ^2 \\ \end{array} \right. \]$

2.1. В теме
Представление простого P=3n+1 формой P=A^2-AB+B^2 было получено соотношение
$$\[ \eta _P ^3 = P\left( {a + b\varepsilon } \right) \to P = \left( {a + b\varepsilon } \right)\left( {a + b\varepsilon ^2 } \right) \]$
Аналогично
$$\[ \eta _Q ^3 = Q\left( {c + d\varepsilon } \right) \to Q = \left( {c + d\varepsilon } \right)\left( {c + d\varepsilon ^2 } \right) \]$
Покажем, что
$$ a + b\varepsilon ,c + d\varepsilon \equiv - 1\left( {\bmod 3} \right)$, т.е. они примарные.
$$\[ \begin{array}{l} \eta _P ^3 = \left( {\varsigma _P _{\left( 0 \right)} + \varsigma _P _{\left( 1 \right)} \varepsilon + \varsigma _P _{\left( 2 \right)} \varepsilon ^2 } \right)^3 = P\left( {a + b\varepsilon } \right) \equiv a + b\varepsilon \left( {\bmod 3} \right) \\ \left( {\varsigma _P _{\left( 0 \right)} + \varsigma _P _{\left( 1 \right)} \varepsilon + \varsigma _P _{\left( 2 \right)} \varepsilon ^2 } \right)^3 \equiv \varsigma _P _{\left( 0 \right)} ^3 + \varsigma _P _{\left( 1 \right)} ^3 + \varsigma _P _{\left( 2 \right)} ^3 \left( {\bmod 3} \right) \\ \end{array} \]$
С точностью до перестановки членов это выражение равно
$$\[ \varsigma _P _{\left( 0 \right)} + \varsigma _P _{\left( 1 \right)} + \varsigma _P _{\left( 2 \right)}=-1 \equiv - 1\left( {\bmod 3} \right) \]$
Т.о.
$$\[ \left\{ \begin{array}{l} a + b\varepsilon \equiv - 1\left( {\bmod 3} \right) \\ c + d\varepsilon \equiv - 1\left( {\bmod 3} \right) \\ \end{array} \right. \]$

2.2. Далее. Пусть дано
$$\[ P \equiv r^{3k + m} \left( {\bmod Q} \right),Q \equiv g^{3t + n} \left( {\bmod P} \right),m,n = 0,1,2 \]$
Тогда
$$\[ \begin{array}{l} P^{\frac{{Q - 1}}{3}} \equiv \left( {r^{3k + m} } \right)^{\frac{{Q - 1}}{3}} \equiv r^{m\frac{{Q - 1}}{3}} \left( {\bmod Q} \right) \\ Q^{\frac{{P - 1}}{3}} \equiv \left( {g^{3t + n} } \right)^{\frac{{P - 1}}{3}} \equiv g^{n\frac{{P - 1}}{3}} \left( {\bmod P} \right) \\ \end{array} \]$

2.3.
$$\[ \varsigma _P _{\left( 0 \right)} ^Q = \left( {\sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k} } } } \right)^Q \equiv \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k} Q} } = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3\left( {k + t} \right) + n} } } \equiv \varsigma _P _{\left( n \right)} \left( {\bmod Q} \right) \]$
Аналогично и для других
$$\[ \varsigma _P _{\left( 1 \right)} ^Q \equiv \varsigma _P _{\left( {n + 1} \right)} \left( {\bmod Q} \right),\varsigma _P _{\left( 2 \right)} ^Q \equiv \varsigma _P _{\left( {n + 2} \right)} \left( {\bmod Q} \right) \]$
Далее
$$\[ \begin{array}{l} \eta _P ^Q = \left( {\varsigma _P _{\left( 0 \right)} + \varsigma _P _{\left( 1 \right)} \varepsilon + \varsigma _P _{\left( 2 \right)} \varepsilon ^2 } \right)^Q \equiv \varsigma _P _{\left( n \right)} + \varsigma _P _{\left( {n + 1} \right)} \varepsilon + \varsigma _P _{\left( {n + 2} \right)} \varepsilon ^2 = \\ = \varepsilon ^{ - n} \left( {\varsigma _P _{\left( 0 \right)} + \varsigma _P _{\left( 1 \right)} \varepsilon + \varsigma _P _{\left( 2 \right)} \varepsilon ^2 } \right) = \varepsilon ^{ - n} \eta _P \left( {\bmod Q} \right) \\ \end{array} \]$
Следовательно
$$\[ \left\{ \begin{array}{l} \eta _P ^{Q - 1} \equiv \varepsilon ^{ - n} \left( {\bmod Q} \right) \\ \eta _Q ^{P - 1} \equiv \varepsilon ^{ - m} \left( {\bmod P} \right) \\ \end{array} \right. \]$

2.4.
$$\[ \left( {a + b\varepsilon } \right)^{\frac{{Q - 1}}{3}} = \left( {\frac{{\eta _P ^3 }}{P}} \right)^{\frac{{Q - 1}}{3}} \equiv \frac{{\varepsilon ^{ - n} }}{{\left( {r^{3k + m} } \right)^{\frac{{Q - 1}}{3}} }} \equiv \varepsilon ^{ - n} r^{ - m\frac{{Q - 1}}{3}} \left( {\bmod Q} \right) \]$
$$\[ \left( {c + d\varepsilon } \right)^{\frac{{P - 1}}{3}} = \left( {\frac{{\eta _Q ^3 }}{Q}} \right)^{\frac{{P - 1}}{3}} \equiv \frac{{\varepsilon ^{ - m} }}{{\left( {g^{3t + n} } \right)^{\frac{{P - 1}}{3}} }} \equiv \varepsilon ^{ - m} g^{ - n\frac{{P - 1}}{3}} \left( {\bmod P} \right) \]$
Или
$$\[ \left( {a + b\varepsilon } \right)^{\frac{{Q - 1}}{3}} r^{m\frac{{Q - 1}}{3}} \varepsilon ^n \equiv 1\left( {\bmod Q} \right) \]$
$$\[ \left( {c + d\varepsilon } \right)^{\frac{{P - 1}}{3}} g^{n\frac{{P - 1}}{3}} \varepsilon ^m \equiv 1\left( {\bmod P} \right) \]$

2.5. Обратимся к соотношению
$$\[ \left( {a + b\varepsilon } \right)^{\frac{{Q - 1}}{3}} r^{m\frac{{Q - 1}}{3}} \varepsilon ^n -1 \equiv 0\left( {\bmod Q} \right) \]$
и рассмотрим тождество, полученное делением с остатком на многочлен $(x^2 + x + 1)$
$$\[ \left( {a + bx} \right)^{\frac{{Q - 1}}{3}} r^{m\frac{{Q - 1}}{3}} x^n - 1 = \left( {x^2 + x + 1} \right)\varphi \left( x \right) + \left( {kx + t} \right) \]$
При $x = \varepsilon$ получим
$$\[ \left( {a + b\varepsilon } \right)^{\frac{{Q - 1}}{3}} r^{m\frac{{Q - 1}}{3}} \varepsilon ^n - 1 = k\varepsilon + t \]$
Следовательно, $k,t$ делятся на $Q$
Теперь, подставив в тождество $$x = r^{\frac{{Q - 1}}{3}} $, получим
$$\[ \left( {a + br^{\frac{{Q - 1}}{3}} } \right)^{\frac{{Q - 1}}{3}} r^{m\frac{{Q - 1}}{3}} r^{n\frac{{Q - 1}}{3}} - 1 = \left( {r^{2\frac{{Q - 1}}{3}} + r^{\frac{{Q - 1}}{3}} + 1} \right)\varphi \left( {r^{\frac{{Q - 1}}{3}} } \right) + Qh \]$
Выражение в скобках правой части делится на $Q$. Получим окончательно
$$\[ \left( {a + br^{\frac{{Q - 1}}{3}} } \right)^{\frac{{Q - 1}}{3}} \equiv r^{ - \frac{{Q - 1}}{3}\left( {m + n} \right)} \left( {\bmod Q} \right) \]$
Аналогично
$$\[ \left( {c + dg^{\frac{{P - 1}}{3}} } \right)^{\frac{{P - 1}}{3}} \equiv g^{ - \frac{{P - 1}}{3}\left( {m + n} \right)} \left( {\bmod P} \right) \]$
Так как
$$\[ s = r^{\frac{{Q - 1}}{3}} P^{Q - 1} + g^{\frac{{P - 1}}{3}} Q^{P - 1} \equiv r^{\frac{{Q - 1}}{3}} \left( {\bmod Q} \right) \equiv g^{\frac{{P - 1}}{3}} \left( {\bmod P} \right) \]$
то окончательно получим
$$\[ \left\{ \begin{array}{l} \left( {a + bs} \right)^{\frac{{Q - 1}}{3}} \equiv s^k \left( {\bmod Q} \right) \\ \left( {c + ds} \right)^{\frac{{P - 1}}{3}} \equiv s^k \left( {\bmod P} \right) \\ \end{array} \right. \]$
при некотором $k=0,1,2$