Является ли ли образ гомоморфизма идеалом?

[eg__13]

Пусть $f: A\rightarrow B$ - гомоморфизм колец. Является ли $\operatorname{Im} f$ идеалом кольца $B$?

Первое, что пришло в голову. Пусть $A$ и $B$ - кольца с единицами, и $e_A$, $e_B$ - единичные элементы колец $A$ и $B$ соответственно. Тогда в силу гомоморфизма: $f(e_A)=e_B$ и $e_B\in \operatorname{Im} f$.
Можем записать следующее равенство для элемента ${b\in B}, {b\notin\operatorname{Im} f}$:

$$b\cdot e_B=b.$$

А так как результат этого произведения не принадлежит ${\operatorname{Im} f}$, значит, ${\operatorname{Im} f}$ не является идеалом кольца $B$.

А если кольца без единиц?

[Brukvalub]

Вы указали пример, когда образ "не идеален" . Если же, например, образ совпадает со всем кольцом, то он автоматически будет идеалом. Какой вывод отсюда следует?

[eg__13]

Вывод? Хм. Может быть, что все зависит от того, какой гомоморфизм? Если он сюръективный, то образ будет идеалом.

Кстати, я ошибся в своих рассуждениях.

eg__13 в сообщении #871305 писал(а):

Тогда в силу гомоморфизма: $f(e_A)=e_B$ и $e_B\in \operatorname{Im} f$.

Для колец это не верно, и мы не знаем, переходит ли единичный элемент в единичный.

[Brukvalub]

eg__13 в сообщении #871325 писал(а):

Вывод? Хм. Может быть, что все зависит от того, какой гомоморфизм? Если он сюръективный, то образ будет идеалом.

Кстати, я ошибся в своих рассуждениях.

eg__13 в сообщении #871305 писал(а):

Тогда в силу гомоморфизма: $f(e_A)=e_B$ и $e_B\in \operatorname{Im} f$.

Для колец это не верно, и мы не знаем, переходит ли единичный элемент в единичный.

Тем не менее, легко привести пример гомоморфизма колец, для которого это будет верно.

[eg__13]

А если рассмотреть различные варианты?

• Образ совпадает с кольцом. В этом случае образ является идеалом.
• Образ не совпадает с кольцом и содержит единичный элемент. В этом случае образ НЕ является идеалом.
• Образ не совпадает с кольцом и НЕ содержит единичный элемент.

А как быть с последним пунктом?

[AV_77]

eg__13 в сообщении #871594 писал(а):

Образ не совпадает с кольцом и НЕ содержит единичный элемент.

Может быть идеалом, может не быть.

[g______d]

Если $A$ подкольцо $B$, то оно же является образом гомоморфизма вложения. Ясно, что не любое подкольцо является идеалом.

[eg__13]

А можно ли это все обобщить и не прибегать к рассмотрению частных случаев?

[g______d]

eg__13 в сообщении #873173 писал(а):

А можно ли это все обобщить и не прибегать к рассмотрению частных случаев?

Любое подкольцо является образом гомоморфизма, и образ гомоморфизма всегда является подкольцом.

[bot]

g______d в сообщении #873534 писал(а):

Любое подкольцо является образом гомоморфизма

Возьмём в $\mathbb Z$ подкольцо чётных чисел.

[g______d]

bot в сообщении #873545 писал(а):

Возьмём в $\mathbb Z$ подкольцо чётных чисел.

Мы либо рассматриваем кольца с единицей, либо нет. В первом случае подкольцо должно содержать единицу исходного кольца и гомоморфизмы переводить единицу в единицу (тогда $2\mathbb Z$ не будет подкольцом). Во втором случае ни то, ни то не предполагается; тогда $2\mathbb Z$ будет образом самого себя при вложении.

[bot]

А что будет образом $\mathbb Z$ при вложении? Вроде бы речь об образе всего кольца при гомоморфизме?

[g______d]

При каком вложении? Возможно, я вопроса не понял. Я не утверждаю, что $A=B$.

[bot]

Всё - отстал, что то я сегодня читаю скверно.