Найти все идеалы в кольце

[Mary84]

Найти все идеалы в кольце $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$.

Здесь будет два тривиальных идеала - само кольцо $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ и нулевой идеал $\left \{ \right 0\}$

А как найти остальные?

Каждый идеал является суммой главных идеалов. Если я предположу, что искомые идеалы, это главные идеалы, у которых НОД элементов, которые их образуют равен 6, будет ли это правильно?

[patzer2097]

Mary84 в сообщении #871157 писал(а):

А как найти остальные?

А какие вообще будут подкольца в $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$? Их легко описать.. А потом посмотреть, какие из них будут идеалами.

Да, и если под $Z$ Вы понимаете кольцо целых чисел, то лучше писать $\mathbb{Z}$

[Mary84]

Подкольца в $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$

$(0) =\left \{ 0\right \}$
$(1)=\left \{1, 2, 3, 4, 5, 0 \right \}$
$(2)=\left \{2, 4, 0 \right \}$
$(3)=\left \{3, 0 \right \}$
$(4)=\left \{ 4, 0\right \}$
$(5)=\left \{ 5, 0\right \}$

[patzer2097]

Mary84 в сообщении #871165 писал(а):

$(4)=\left \{ 4, 0\right \}$
$(5)=\left \{ 5, 0\right \}$

[Mary84]

Только $(0), (1), (2)$ и $(3)$ подкольца. $ (4), (5)$ не в счёт, т.к. для элементов 4 и 5 нет противоположных.

Чтобы подкольцо было идеалом, нужно выполнение условий:
1)$ \forall a,b \in I} \quad a+b \in I$
2)$\forall a \in \mathbb{Z}/6Z, b \in I \quad a\cdot b \in I$

Значит ответ (0), (1), (2), (3), так верно?

[patzer2097]

Чтобы подкольцо $I$ кольца $R$ было идеалом, нужно выполнение условий $rx\in I$ и $xr\in I$ для всех $x\in I$ и $r\in R$. А у Вас неправильно.

[Joker_vD]

Mary84 в сообщении #871169 писал(а):

т.к. для элементов 4 и 5 нет противоположных.

$4+2\equiv0\pmod6$
$5+1\equiv0\pmod6$

Собственно, $(0), (1), \dots, (5)$ — и есть все идеалы, только их тут не шесть, конечно. Кстати, а вам дано, что $\mathbb Z$ — кольцо главных идеалов?

[Mary84]

Спасибо за помощь, разобралась : )