Компактность самсопряженного оператора

[bahad]

Задача. Доказать, что самосопряженный оператор $A \ge 0$ в гильбертовом пространстве компактен в точности тогда, когда при некотором $\alpha > 0$(а тогда и при всяком $\alpha$) компактен опреатор $A^{\alpha}$

Для $\alpha=1/2$ нашел решение, то в нем используется теорема Гильберта-Шмидта, то есть нужна сепарабельность гильбертового пространства. Без сепарабельности можно как-нибудь обойтись, или она необходима?

Вот решение:

If $A^{1/2}$ is compact, $A = A^{1/2}A^{1/2}$ is as a composition of a compact and a bounded operator is compact.

If, on the other hand, $A$ is compact, we can write $A = \sum_{n\ge 1} \lambda_n(\cdot, x_n)x_n$ for some $\lambda_n \to 0$ and an orthonormal sequence (the $\lambda_n$ are the eigenvalues of $A$ and $x_n$ are the corresponding eigenvectors. Then $A^{1/2} = \sum_{n\ge 1} \lambda_n^{1/2}(\cdot, x_n)x_n$ is compact as it is the limit (in the norm topology) of the finite dimensional operators $B_N = \sum_{1\le n \le N} \lambda_n^{1/2}(\cdot, x_n)x_n$ since $\|B_N - A^{1/2}\| \le \lambda_N^{1/2} \to 0$.

[g______d]

bahad в сообщении #871126 писал(а):

нужна сепарабельность гильбертового пространства.

Зачем?

[bahad]

g______d в сообщении #871153 писал(а):

bahad в сообщении #871126 писал(а):

нужна сепарабельность гильбертового пространства.

Зачем?

Теорема 2.18 (Гильберта –Шмидта). Компактный самосопряжённый оператор A в сепарабельном гиль-
бертовом пространстве H обладает базисом из собственных векторов.

[g______d]

bahad в сообщении #871156 писал(а):

Теорема 2.18 (Гильберта –Шмидта). Компактный самосопряжённый оператор A в сепарабельном гиль-
бертовом пространстве H обладает базисом из собственных векторов.

В несепарабельном тоже. Просто ядро будет очень большим.