Площадь Верно ли составлен интеграл?

[integral2009]

1) Задача: Вычислить площадь, ограниченную:

$\left\{\begin{matrix} x=3\cos^3t\\ y=3\sin^3t\\ x^2+y^2\le 9 \end{matrix}\right.$

Как вычислить площадь? Площадь круга минус площадь астроиды.

$S=9\pi-\displaystyle\int_0^{2\pi}3\sin^3t(3\cos^3t)'dt=9\pi+3\displaystyle\int_0^{2\pi}3\sin^4t \cos^2t dt$

Верно ли составлен интеграл?

2) Задача: Вычислить площадь, ограниченную:

$\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{3}\cos \varphi\\ y=-\sin\varphi \\ \end{matrix}\right.$

Пересекаются они по прямой $\varphi=-\frac{\pi}{3}$

Зеленая площадь:

$S_2=\frac{\pi}{2}-0,5\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{3}}\left(-\sin\varphi\right)^2d\varphi$

Синяя площадь -- аналогично:

$S_2=\frac{3\pi}{8}-0,5\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^0\left(\sqrt{3}\sin\varphi\right)^2d\varphi$

Ответ: $S=S_1+S_2$

Верно ли составлены интегралы?

[svv]

integral2009 в сообщении #871107 писал(а):

Площадь круга минус площадь астроиды.
$S=9\pi-\displaystyle\int_0^{2\pi}3\sin^3t(3\cos^3t)'dt=9\pi+3\displaystyle\int_0^{2\pi}3\sin^4t \cos^2t dt$
Верно ли составлен интеграл?

1) Во втором слагаемом две тройки — коэффициенты в параметрическом уравнении астроиды, и ещё одна возникает при дифференцировании, всего три тройки.
2) Площадь астроиды у Вас получается отрицательной. То, что Вы её вычитаете, это правильно, но Вы вычитаете отрицательное число:
$\int_0^{2\pi}3\sin^3t(3\cos^3t)'dt=-27\int_0^{2\pi}\sin^4t \cos^2t dt$
Под интегралом у Вас $y(\varphi)x'(\varphi)d\varphi$. Как это будет работать, например, в первом и втором квадранте? Здесь $y\geqslant 0$, а $x$ убывает с ростом $\varphi$, поэтому площадь, конечно, получится отрицательной.

[integral2009]

svv в сообщении #871195 писал(а):

integral2009 в сообщении #871107 писал(а):

Площадь круга минус площадь астроиды.
$S=9\pi-\displaystyle\int_0^{2\pi}3\sin^3t(3\cos^3t)'dt=9\pi+3\displaystyle\int_0^{2\pi}3\sin^4t \cos^2t dt$
Верно ли составлен интеграл?

1) Во втором слагаемом две тройки — коэффициенты в параметрическом уравнении астроиды, и ещё одна возникает при дифференцировании, всего три тройки.
2) Площадь астроиды у Вас получается отрицательной. То, что Вы её вычитаете, это правильно, но Вы вычитаете отрицательное число:
$\int_0^{2\pi}3\sin^3t(3\cos^3t)'dt=-27\int_0^{2\pi}\sin^4t \cos^2t dt$
Под интегралом у Вас $y(\varphi)x'(\varphi)d\varphi$. Как это будет работать, например, в первом и втором квадранте? Здесь $y\geqslant 0$, а $x$ убывает с ростом $\varphi$, поэтому площадь, конечно, получится отрицательной.

Спасибо! А почему площадь получается отрицательной, разве такое может быть?

А тут нужно от $0$ до $\pi$?

$\int_0^{\pi}3\sin^3t(3\cos^3t)'dt=-27\int_0^{\pi}\sin^4t \cos^2t dt$

[svv]

Площадь не должна быть отрицательной. Чтобы площадь в Вашем случае получилась положительной, используйте одну из следующих формул:
$\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\frac{x^2+y^2}{2} d\varphi$
$\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} (-yx') d\varphi$
$\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} x y' d\varphi$
$\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} \frac{x y'-y x'}{2} d\varphi$
Здесь $x$ и $y$ функции $\varphi$; производные берутся по $\varphi$.

На примере круга продемонстрирую, что именно формула с минусом даёт правильную площадь.
$x=r\cos\varphi$
$y=r\sin\varphi$
$x'=-r\sin\varphi$
$-yx'=(-r\sin\varphi)(-r\sin\varphi)=r^2\sin^2\varphi$ (неотрицательная величина, как и требуется) = $\frac{r^2}{2}(1-\cos 2\varphi)$
$S=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} (-y x') d\varphi=\frac{r^2}{2}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} (1-\cos 2\varphi) d\varphi=\frac {r^2} 2 2\pi=\pi r^2$

Подобные формулы чувствительны к направлению обхода области, если направление будет не то, изменится знак площади.

[integral2009]

Спасибо, понятно. Преподаватель говорит, что ответ $\dfrac{45\pi}{8}$ -- неверный.
Может я что-то не так понимаю?

Этот интеграл точно равен $I=\displaystyle\int_0^{2\pi}3\sin^3t(3\cos^3t)'dt=-\dfrac{27\pi}{8}$, вольфрам даже подтвердит.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... 3t%29%27dt

А искомая площадь $S=9\pi-\dfrac{27\pi}{8}=9\pi\left(1-\dfrac{3}{8}\right)=\dfrac{45\pi}{8}$

Разве тут может где-то быть ошибка?

[ewert]

integral2009 в сообщении #871107 писал(а):

$\left\{\begin{matrix}
x=\sqrt{3}\cos \varphi\\
y=-\sin\varphi \\
\end{matrix}\right.$

Пересекаются они по прямой $\varphi=-\frac{\pi}{3}$

"Они" вообще не пересекаются, это просто эллипс (так что площадь можно, в принципе, и вовсе не считать, а написать ответ сразу). Скорее всего, Вы неправильно переписали условие.

integral2009 в сообщении #871107 писал(а):

Зеленая площадь:

$S_2=\frac{\pi}{2}-0,5\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{3}}\left(-\sin\varphi\right)^2d\varphi$

Синяя площадь -- аналогично:

$S_2=\frac{3\pi}{8}-0,5\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^0\left(\sqrt{3}\sin\varphi\right)^2d\varphi$

Трудно сказать. Кто синий, кто зелёный, кто красный -- неизвестно, а откуда первые слагаемые -- вообще загадка (даже если попытаться угадать условие задачи).

[svv]

integral2009 в сообщении #876126 писал(а):

Разве тут может где-то быть ошибка?

Нет, тут ошибки нет. Площадь круга $\pi R^2$, площадь астроиды $\frac 3 8 \pi R^2$, разность $\frac 5 8 \pi R^2$, что при $R=3$ равно Вашему ответу.

[integral2009]

Спасибо. А условии второй задачи -- опечатка:

2) Задача: Вычислить площадь, внутри обеих окружностей:

$\left\{\begin{matrix} \rho=\sqrt{3}\cos \varphi\\ \rho=-\sin\varphi \\ \end{matrix}\right.$

Пересекаются они по прямой $\varphi=-\frac{\pi}{3}$



$S_1=\frac{\pi}{2}\cdot \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-0,5\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{3}}\left(-\sin\varphi\right)^2d\varphi$

$S_2=\frac{\pi}{2}\cdot 0,5^2-0,5\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^0\left(\sqrt{3}\sin\varphi\right)^2d\varphi$

Ответ: $S=S_1+S_2$

Верно ли это?

[ewert]

integral2009 в сообщении #876560 писал(а):

Верно ли это?

Даже и думать неохота. Даже если вдруг и верно, то Вы выбрали самый неестественный изо всех возможных интерпретаций условия. (впрочем, при любых интерпретациях Ваше решение как-то страннО)

А условие -- невнятно, да. В приличном опчестве к нему полагаются уточнения.

-- Вт июн 17, 2014 22:59:26 --

Ладно, будем конкретнее. Вот, скажем:

integral2009 в сообщении #876560 писал(а):

$S_1=\frac{\pi}{2}\cdot \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-0,5\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{3}}\left(-\sin\varphi\right)^2d\varphi$

-- ну нахрена Вы из первого слагаемого (которое ещё можно догадаться, к чему) вычитаете именно этот интеграл?...

[integral2009]

Вы имеете ввиду, что проще считать так?

$0,5\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{0}\left(-\sin\varphi\right)^2d\varphi +0,5\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{3}}\left(\sqrt{3}\cos\varphi\right)^2d\varphi$

[ewert]

integral2009 в сообщении #876572 писал(а):

Вы имеете ввиду, что проще считать так?

Понятия не имею, что проще. До тех пор, пока неизвестно, что в точности предлагается считать.

Вы уж как-нибудь определитесь с этим. Тогда, не исключено, и Ваш последний пост приобретёт смысл.

-- Вт июн 17, 2014 23:17:44 --

А, пардон, на это я не обратил внимания:

integral2009 в сообщении #876560 писал(а):

внутри обеих окружностей

Тогда Ваша последняя версия верна (во всяком случае, в принципе -- за арифметиками следить лень).