Измеримость функционалов относительно цилиндр. сигма-алгебры

[kirill94]

Даны функционалы на множестве функций $[0,1] \to \mathbb{R}$:
$1.\; L_1(f) := \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n (f(x_k) - f(x_{k-1}))^2$ -- квадратичная вариация функции.
$2.\; L_2(f) := \lim\sup_{t\to0}\frac{f(t)}{\sqrt{2t\log(\log(\frac{1}{t}))}} \;\;\; (1)$.
Являются ли эти функционалы измеримыми относительно цилиндрической сигма-алгебры в $R^{[0,1]}?$

${x_0, \ldots x_n}$ - это некоторое разбиение отрезка $[0,1]$

-- 02.06.2014, 16:46 --

На счёт первого были идеи, что он - предел измеримых функционалов в метрическом пространстве, а именно, частичных сумм

$$ \sum_{k=0}^n (f(x_k) - f(x_{k-1}))^2 ,$$

однако в данном случае предел не поточечный, так что нельзя применить теорему о том, что предел измеримых отображений в метрическом пространстве - измеримое отображение.

-- 02.06.2014, 16:55 --

На счёт второго - хотелось доказать, что $L^{-1}_2(-\infty;\, a)\;$ есть

$$ \bigcup_{0<r_0<1}{\;\bigcap_{0<r<r_0}{Cyl_{\frac{1}{r}} (-\infty; \, a\sqrt{2r\log(\log\frac{1}{r})} )}}, $$

где пересечение берётся по всем рациональным r. Это условие означает, что, начиная с некоторого $r_0$ все значения функции $f(x)$ по рациональным $x \in \mathbb{Q}$ не превосходят $ a\sqrt{2x\log(\log\frac{1}{x})} $, то есть фактически верхний предел (1) по рациональным числам не превосходит а. Но ведь из этого нельзя утверждать, что верхний предел по всем x не превосходит а?