Задать расширение поля полиномом.

[misha89]

Задать расширение степени 3 поля $\mathbb{F}_3$ полиномом, корень кортого является образующей группы $\mathbb{F}_{3^3}^*.$

$\mathbb{F}_3 = \{ 0,1,2\}, \mathbb{F}_{3^3} = \mathbb{F}_3[x]/(x^3+bx^2+cx+d),$
$\mathbb{F}_{3^3}^* = \mathbb{F}_{3^3}/\{0\} = <t>$, где $t$ - корень полинома $x^3+bx^2+cx+d$.

Правильно ли я задание понял?

Необходимо подобрать такой полином? При этом в $\mathbb{F}_3$ он неприводим?

$\mathbb{F}_{3^3} = \{kx^2+qx+l, k, q, l \in \mathbb{F}_3\}$

И корнем искомого будет некий $kx^2+qx+l$ полином, верно?

Тут точно должен быть какой-то ход, который позволит быстро найти искомый полином. Не может быть это просто подбором.

Я пробовал через НОД корни искать.

$GCD(f, #\mathbb{F}_{3^3}^*) = 1 \Rightarrow f = \{1, 5, 7, 11, 17, 19, 23, 25\}. $

Но это бред.

Подскажите, пожалуйста.

[nnosipov]

misha89 в сообщении #871001 писал(а):

Задать расширение степени 3 поля $\mathbb{F}_3$ полиномом, корень кортого является образующей группы $\mathbb{F}_{3^3}^*.$

Такие полиномы называются примитивными. Всего нормированных полиномов 3-й степени над $\mathbb{F}_3$ имеется 27 штук. Из них 8 неприводимы, а половина из последних как раз являются примитивными. Поэтому нужный полином можно искать методом тыка (тыкать лучше сразу в неприводимые). При этом, естественно, нужен какой-нибудь критерий примитивности. Найдите его в лекциях или учебнике.

-- Пн июн 02, 2014 19:53:50 --

misha89 в сообщении #871001 писал(а):

Я пробовал через НОД корни искать.

$GCD(f, #\mathbb{F}_{3^3}^*) = 1 \Rightarrow f = \{1, 5, 7, 11, 17, 19, 23, 25\}. $

Но это бред.

Точно, бред.

[misha89]

nnosipov
, да, спасибо большое за быстрый ответ) Все решилось, даже с первого раза удачно попал.