Бирациональные автоморфизмы проективной плоскости.

[3.14]

Здравствуйте. Наткнулся на интересную задачу ) Пусть $f : \mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^2$ - квадратичный бирациональный автоморфизм. Рассмотрим такие отображения :

$$ a)\ \tau_0 : (x_0 : x_1 : x_2) \mapsto (x_1 x_2 : x_0 x_2 : x_0 x_1). $$ $$ b)\ \tau_1 : (x_0 : x_1 : x_2) \mapsto (x_0 x_2 : x_0 x_1 : x_2^2). $$ $$ c)\ \tau_2 : (x_0 : x_1 : x_2) \mapsto (x_0 x_2 : x_1 x_2 + x_0^2 : x_2^2). $$

Утверждается, что существует система координат такая, что $\forall \ f $ имеет форму либо $\tau_0$, либо $\tau_1$, либо $\tau_2$.
Я начал рассматривать произвольное квадр. преобразование $f : (x_0 : x_1 : x_2) \mapsto (A(x_0,x_1,x_2) : B(x_0,x_1,x_2) : C(x_0,x_1,x_2))$, где $A,B,C$ - квадратичные однородные формы от соответ. переменных. Мы видим, что у наших $\tau_0, \ \tau_1, \ \tau_2$ 3, 2(одна имеет кратность 2), 1(имеет кратность 3) точек неопределенности. Ну я решил, что у нашего $f$ тоже может быть 3,2,1 точек неопределенности. (почему не 0 ?) Пусть $f$ имеет 3 эти особые точки. Кажется, тогда якобиан нашего отображения

$$ J = det \begin{pmatrix} \frac{\partial A}{\partial x_0} & \frac{\partial A}{\partial x_1} & \frac{\partial A}{\partial x_2} \\ \frac{\partial B}{\partial x_0} & \frac{\partial B}{\partial x_1} & \frac{\partial B}{\partial x_2}\\ \frac{\partial C}{\partial x_1} & \frac{\partial C}{\partial x_1} & \frac{\partial C}{\partial x_2} \end{pmatrix} $$

зануляется в этих точках. Выберу систему координат такую, что наши точки имеют координаты $(1 : 0 :0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1)$ соответ. Тогда получается система из трех уравнений на все неизвестные коэффициенты форм $A,B,C$. И тут я не знаю, что делать ) Правда я никак не использовал, что $f$ автоморфизм, т. е. есть обратное отображение. В общем, есть ли у кого ссылка на решение или умение в решении такого ?

Deggial: формулы поправлены.