Правильно ли? (Интегральная сумма в пределе)

[tetroel]

Доброго вечера.

Есть такая задачка — с помощью определения интегральной суммы вычислить предел
\lim_{n \to \infty } \frac{1^2+2^2+...+n^2}{n^3}

Ну, хорошо, приступаем: \lim_{n \to \infty } \frac{\int\limits_{1}^{n} x^2 \mathsf{d}x }{n^3} = \lim_{n \to \infty }\frac{\frac{n^3}{3}-\frac{1}{3}}{n^3} = \frac{1}{3}

В Mathematica непосредственно вставляю сумму — ответ получается такой же.
И всё бы хорошо, но меня смущает, что на бесконечности сумма с данным интегралом расходятся.
Итак, у меня два вопроса:

1. Правильно ли(скорее грамотно ли) сделано задание?
2. Почему сумма с интегралом расходятся, но ответ получается одинаковый?

[ex-math]

Ну и какое отношение Ваш интеграл имеет к исходной сумме?

UPD: Конечно, сумма в числителе -- это интегральная сумма для него, но совсем ему не равна и даже к нему не стремится с ростом $n$. Вот ведь как.

[mihailm]

$\frac{1}{n}$ из суммы вытаскиваем, это типа длина промежутка разбиения. Остальное - это значения функции понятно.

[Vince Diesel]

Можно и так, как ТС.

tetroel в сообщении #870661 писал(а):

2. Почему сумма с интегралом расходятся, но ответ получается одинаковый?

Потому что сумма — это сумма площадей столбиков высота которых равна $k^2$, дается интегралом $\frac1{n^3}\int_1^n\lceil x^2 \rceil,dx$, где $\lceil x \rceil$ — округление числа $x$ вверх. А разность $\frac1{n^3}\int_1^n(x^2-\lceil x^2 \rceil)\,dx$ стремится к нулю. Для наглядности можно картинку со столбиками нарисовать.

[mihailm]

Квадрат надо бы из этих недоскобок вытащить

[tetroel]

То есть нужно было как-то вот так рассуждать?
У меня, кстати, почему-то расшатало дроби ко всем чертям, понятия не имею, почему.

Рассматривая точки \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \frac{3}{n}...\frac{n}{n} как точки деления отрезка [0;1] на n равных частей длиной \Delta =\frac{1}{n} для непрерывной функции имеем:

\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left[ f\left( \frac{1}{n}\right) +f\left( \frac{2}{n}\right) + f\left(\frac{3}{n}\right) + ... + f\left(\frac{n}{n} \right) \right]= \int\limits_{0}^{1}f(x) dx

...\lim_{n \to \infty }\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{i^2}{n^3}} = \sum\limits_{i=1}^{n} \left( \frac{i}{n} \right)^2\frac{1}{n} = \int\limits_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}

[mihailm]

Да, все нормально