Энергия двух шариков

[illuminates]

Не могу решить задачу школьного казалось бы уровня. Помогите пожалуйста.
Задача:
Требуется отыскать полную энергию электрического поля, от двух однородно заряженных шариков с радиусами R и зарядом q, расстояние между их центрами L.
Моё решение:
Полную энергию можно рассчитать по формуле $W=\int_{}^{} E^2/8\pi dv$
Поле равно $\mathbf{E}=q(\mathbf{r_1}/r_1^3+\mathbf{r_2}/r_2^3)$
Не понятно можно ли считать шарики точечными. И при интегрировании, нужно интегрировать везде кроме нутря шариков? Не сильно понимаю как это провернуть.

Пытался решить задачу приведя к эквивалентной схеме -два диполя, но тоже ничего хорошего не получилось

[fronnya]

на каком расстоянии от каждого шарика?

[illuminates]

fronnya
Энергию поля требуется найти во всём пространстве

[svv]

Неточечность шариков в данной задаче — благо, без неё интеграл будет расходиться. Прикиньте, как $r$ в какой степени вела бы себя подинтегральная функция в окрестности точечного шарика, даже с учетом якобиана $r^2$.

[мат-ламер]

illuminates в сообщении #870420 писал(а):

Требуется отыскать полную энергию электрического поля, от двух однородно заряженных шариков

Меня слово "от" тут смущает. Потому как поле от двух шариков равно полю от двух точечных зарядов. Надо ли сюда складывать энергию электронов, собраных в шарик? (Для каждого шарика отдельно). Какая-то двусмысленность есть в условии.

[svv]

illuminates в сообщении #870420 писал(а):

Не понятно можно ли считать шарики точечными. И при интегрировании, нужно интегрировать везде кроме нутря шариков?

Мне кажется, что 1) точечными их считать нельзя (хотя вне шариков поле, конечно, совпадает с полем соответствующих точечных зарядов), и 2) интегрировать надо везде, включая внутренность шариков. Конечно, если удастся свести интеграл по всему пространству к чему-то более простому, то пожалуйста.

[vlapay]

Для школьного уровня интегралы чужды. Надо без интегралов. Энергия одиночной сферы считается через потенциал сферы, умноженный на заряд, не забывая поделить на два. Потом заряды сфер можно считать точечными и посчитать энергию их сближения до расстояния $L$. Всю затраченную энергию складываем и получаем энергию поля.

[svv]

vlapay, но у нас не сфера, а равномерно заряженный шар. Потенциал там переменный. Энергия поля шара равна $\frac{3q^2}{5R}$. Попробуйте получить эту величину без интегрирования.

[DimaM]

Подразумевается ли $L\gg R$? Если да, то можно действовать так: посчитать энергию для каждого по отдельности и добавить работу по сближению шариков из бесконечности (при $L\gg R$ можно, как для двух точечных зарядов).

[мат-ламер]

DimaM в сообщении #870867 писал(а):

Подразумевается ли $L\gg R$?

По моему мнению это на ответ никак не влияет.

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #871102 писал(а):

По моему мнению это на ответ никак не влияет.

При таком допущении задачу можно решить. Иначе замаетесь интегрировать.

[svv]

Формулу для энергии электрического поля $W=\frac 1{8\pi}\int E^2 dV$, где интеграл по всему пространству, можно преобразовать к виду $W=\frac 1 2 \int \rho\varphi dV$, здесь можно интегрировать только по области, где $\rho\neq 0$, т.е. по шарам (назовем их $B_1$ и $B_2$). Потенциал можно представить в виде суммы потенциалов $\varphi_1$ и $\varphi_2$, создаваемых первым и вторым шаром. Так энергия разбивается на 4 слагаемых
$W=\int\limits_{B_1}\frac{\rho \varphi_1}2 dV+\int\limits_{B_1}\frac{\rho \varphi_2}2 dV+\int\limits_{B_2}\frac{\rho \varphi_1}2 dV+\int\limits_{B_2}\frac{\rho \varphi_2}2 dV$
Первое и четвертое слагаемое — это энергия поля первого и второго шара соответственно. В силу симметрии они равны. Каждое равно величине $\frac{3q^2}{5R}$, которую вряд ли можно найти без интегрирования.

Второе и третье слагаемые тоже равны, и вместе дают энергию взаимодействия $W_{\text{int}}=\int\limits_{B_1}\rho \varphi_2 dV$. Здесь возможен трюк.
Пусть $\mathbf r_1$ и $\mathbf r_2$ — радиус-векторы центров шаров. Вне второго шара $\varphi_2$ равен потенциалу точечного заряда $q$, расположенного в $\mathbf r_2$:
$\varphi_2(\mathbf r)=\frac q{|\mathbf r-\mathbf r_2|}$
Поэтому
$W_{\text{int}}=q\int\limits_{B_1} \frac{\rho} {|\mathbf r-\mathbf r_2|} dV(\mathbf r)$
Но последний интеграл — это в точности потенциал, создаваемый первым шаром в точке $\mathbf r_2$:
$W_{\text{int}}=q\varphi_1(\mathbf r_2)$
А этот потенциал вне первого шара, в свою очередь, совпадает с потенциалом точечного заряда $q$, расположенного в точке $\mathbf r_1$:
$\varphi_1(\mathbf r_2)=\frac q{|\mathbf r_2-\mathbf r_1|}=\frac q L$
Отсюда $W_{\text{int}}=\frac {q^2} L$

[Legioner93]

(Оффтоп)

Простите за оффтоп, я тут недавно услышал... Мол два положительно заряженных металлических шарика могут притягиваться. При таких нач. условиях: один из них намного меньше, чем другой, а также их заряды специально подобраны (для демонстрации эффекта). Это правда, да?

[svv]

(Legioner93)

Я не слышал о таком, но думаю, что это правда. Пусть сначала один шар (большой) заряжен положительно, а второй шарик (маленький) нейтрален. Если сблизить их, на втором появится некоторый отрицательный заряд со стороны, обращенной к первому шару (металл ведь!), а удаленная сторона, наоборот, зарядится положительно. Но отрицательные заряды ближе к первому шару и потому притягиваются сильнее, чем отталкиваются более удаленные положительные, где поле слабее. Т.е. здесь два эффекта: 1) второй металлический шарик приобретает дипольный момент в электрическом поле вследствие электростатической индукции, и 2) на диполь в неоднородном поле действует сила.

Теперь зарядим второй маленький шарик дополнительным очень малым положительным зарядом. Понятно, что эффект сохранится.

[Legioner93]

(svv)

Спасибо! Звучит очень правдоподобно А обсчитать это как-нибудь возможно? Немного, так сказать, "пошевелить" конструкцию: насколько могут отличаться шары, насколько их заряды, какие допустимы расстояния между ними. С теоремой Гаусса конечно знаком, но ничего сложного ей не считал.