Обучение математике

[ivvan]

Попробую описать знание материала 1 курса:
сечения Дедекинда - кажется, это подмножества $M\subsetneq\mathbb{Q}: x<y\in M\Rightarrow x\in M$ и без максимального элемента; вспомнил, как определяется сложение и умножение для положительных (содежащих $0$) сечений (не знаю, можно ли определить умножение единообразно для всех сечений), в уме проверил соответствие с операциями для рациональных чисел, выполнение алгебраических чисел вроде легко видно;
можно получить $\mathbb{R}$ пополнением по норме $\mathbb{Q}$ - модулю (действительные числа - классы фундаментльных последовательностей рациональных чисел);
определение предела функции и последовательности на языке $\varepsilon-\delta(N)$, арифметические и порядковые свойства пределов, 1 и 2 замечательные пределы;
определение производной, его значение для элементарных функций, теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа (дифференцируемость нужна, по-моему, внутри интервала), про отношение приращений 2 функций;
определение определённого интеграла, связь с пределами Дарбу, линейные и порядковые свойства, непрерывность относительно (верхнего) предела, его дифференцируемость в условии непрерывности подынтегральной функции, формула Ньютона-Лейбница.
Не знаю, насколько много из перечисленного сумею доказать. Допишу, возможно, завтра, если нужно будет.

[Aritaborian]

Это вы только про матан рассказали. А что насчёт алгебры и ангема?

[Munin]

ivvan в сообщении #870900 писал(а):

Хочу в первую очередь получить знание "обязательных" областей, которые с немалой вероятностью встречались бы в цепочках нужных предметов, давали бы представление о содержании современной математики, её исследованных и исследуемых областях, ориентироваться в ней (возможно, тогда я интересовался бы более интересными вопросами). Хотя нередко слышал, что математика большая, возникло ощущение, что мои знания меньше минимума, известного математикам (по крайней мере, общающимся в Интернете).

Должен сказать, что здесь есть очень большая дистанция между "обязательными областями" и современной математикой в смысле её текущих исследований.

Так что, после знаний 1-2 курсов, вам придётся изучить знания за 3-5 курс, потом за аспирантуру, и только тогда вы доберётесь до областей, составляющих современную математику. Но это уже всё будет не во всеохватном смысле, а в каком-то выбранном направлении - в более широком на уровне старших курсов, в более узком - на уровне аспирантуры и современных исследований. А минимум, известный всем математикам, видимо, где-то на уровне 2-3 курса и заканчивается.

-- 04.06.2014 00:49:07 --

См., например, тему «какие теоремы должен знать любой математик?» - в ней большинство перечисленных вещей относятся к младшим-средним курсам.

[Brukvalub]

Судя по рассказу, Ваши знания - это кусочки программы мех-мата для 1го курса, причем Ваши знания - остаточные, неуверенные. Так что, если хотите заняться самообразованием в математике, то берите с сайта МГУ программы курсов мех-мата (они там находятся в открытом доступе) и прорабатывайте их последовательно по курсам, ориентируясь на списки литературы в этих программах. Еще есть, хотя и уже не развивающийся, но еще живой ресурс с лекциями большинства мех-матовских учебных курсов. Пользуйтесь им!

[Denis Russkih]

Brukvalub в сообщении #871657 писал(а):

Так что, если хотите заняться самообразованием в математике, то берите с сайта МГУ программы курсов мех-мата (они там находятся в открытом доступе) и прорабатывайте их последовательно по курсам, ориентируясь на списки литературы в этих программах.

Вы, наверное, говорите о том, что расположено вот здесь? Спасибо, интересная информация. Но я не нашёл там списков литературы.

[Brukvalub]

Значит их там нет! Тем не менее, большинство курсов выложено у братьев DMVN, на ресурсе, ссылку на который я дал выше.

[ivvan]

Метод Крамера, теорема Кронекера-Капелли, выражение определителя через сумму произведений миноров на алгебраические дополнения, определитель произведения;
собственные вектора и значения, характеристическое уравнение, Жорданова форма, минимальное аннулирующее уравнение (кратность корня ( - собственного значения) - максимальный размер соответствующей клетки);
определение группы, полугруппы, кольца, поля, векторного пространства, модуля, алгебры (ассоциативной), нормального класса, идеала.

[мат-ламер]

ivvan в сообщении #870386 писал(а):

Как организовать обучение, ... чтобы ... уметь читать специальную литературу?

ivvan. Какую специальную литературу Вы собираетесь читать? Пробовали ли?

[ivvan]

Конкретно в данный момент никакой.Даже сомневаюсь, что правильно понимаю это словосочетание.
Самое специальное, что сохранил на диск, но дальше первых страниц (и содержания) не смотрел - Gelfand, Kapranov, Zelevinsky. Discriminants, resultants, and multidimensional determinants (1994)(ISBN 0817636609)(L)(T)(266s). Я хотел прочитать Маклейна "Категории для работающего математика", но там во многих примерах и упражнениях предполагается знание малознакомых терминов (вроде гомологий, кажется).Также хотелось бы знать разделы, дающие возможность понять основные положения теоретической физики (ОТО, квантовой физики; для классической механики нужно будет знать вариационное исчисление и т.д.).

[Munin]

Для теоретической физики нужны линал и матан за первые 2 курса, включая дифуры и комплексную переменную; также нужен курс "Уравнения математической физики", который по сути посвящён дифференциальным уравнениям в частных производных. Собственно, вся физика - это дифференциальные уравнения, обыкновенные (движение частицы, тела) и в частных производных (движение волн, всякие поля). Вариационное исчисление - это раздел, посвящённый связи дифференциальных и интегральных формулировок задач. Идеологически он важен для физики, но на практике используется мало и довольно однообразно. Скорее, для положений теоретической физики стоит изучить дифференциальную геометрию: риманову, расслоений.

[мат-ламер]

ivvan
У меня к вам несколько советов. Начинающему полезно ограничить круг своих интересов. Нельзя (по крайней мере в начале вашего пути) одновременно хорошо знать и алгебру и физику. Так что в первую очередь надо определиться со специализацией. Второй мой совет - стремитесь к более конкретным вещам, а не к суровым абстракциям (типа абстрактной теории категорий). И в третьих, не обязательно знать все основы, которые проходят на первых курсах университета. Вот вы писали о сечениях Дедекинда. Можно быть физиком или алгебраистом, не зная об этом ничего. Можно заниматься вероятностными науками и ничего не знать о векторном произведении. А вот физикам без него никуда. Можно быть алгебраистом и ничего не понять в вероятностных науках. И наоборот, специалист по теории вероятности может ничего не понимать в алгебраических абстракциях. А вот анализ (как действительный, так и комплексный, так и функциональный) он должен знать. Так что вопрос о том, что вам надо знать, целиком зависит от круга ваших интересов.

[Nemiroff]

А чего мучаться — спросим у 'т Хоофта:

Цитата:

Primary Mathematics

Now, first things first. Are you comfortable with numbers, adding, subtracting, square roots, etc.?

Natural numbers: $1, 2, 3,$ …
Integers: …$, -3, -2, -1, 0, 1, 2,$ …
Rational numbers (fractions): $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{23791}{773},$ …
Real numbers: $\sqrt{2} = 1.4142135… , \pi = 3.14159265… , e = 2.7182818…,$ …
Complex numbers: $2+3i, e^{ia}= \cos{a} + i \sin{a}$, … they are very important!
Set theory: open sets, compact spaces. Topology.You may be surprised to learn that they do play a role indeed in physics!
Algebraic equations. Approximation techniques. Series expansions: the Taylor series.
Solving equations with complex numbers. Trigonometry: $\sin{2x}=2\sin x \cos x,$ etc.
Infinitesimals. Differentiation. Differentiate basic functions $(\sin{}, \cos{}, \exp{})$.
Integration. Integrate basic functions, when possible. Differential equations. Linear equations.
The Fourier transformation. The use of complex numbers. Convergence of series.
The complex plane. Cauchy theorems and contour integration (now this is fun).
The Gamma function (enjoy studying its properties).
Gaussian integrals. Probability theory.
Partial differential equations. Dirichlet and Neumann boundary conditions.

This is for starters. Some of these topics actually come as entire lecture courses. Much of those are essential ingredients of theories in Physics. You don’t have to finish it all before beginning with what follows next, but remember to return to those subjects skipped during the first round.

Цитата:

Advanced Mathematics

Group theory, and the linear representations of groups
Lie group theory
Vectors and tensors
More techniques to solve (partial) differential and integral equations
Extremum principle and approximation techniques based on that
Difference equations
Generating functions
Hilbert space
Introduction to the functional integral

Взято отсюда: http://www.staff.science.uu.nl/~Gadda00 ... index.html
Старая версия: http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/theorist.html
_________________________
Покуда речь идёт о списках — ещё один. Причём вполне себе немаленький.
http://hbpms.blogspot.in/

Цитата:

How to Become a Pure Mathematician (or Statistician)
a List of Undergraduate and Basic Graduate Textbooks and Lecture Notes - the blog