Составить уравнение касательной плоскости

[fiztech]

Здравствуйте. Нужно составить уравнения касательной плоскости и нормали к данной поверхности в данной точке:
$z=\frac{1}{2} \sqrt{x^2+3y^2-15}$ $M_0 (2, -3,2)$
Ответ у меня получается с корнями, а в учебники ответ записан с целыми коэффициентами. Ошибка у меня или ошибка в учебнике ?

[svv]

Я думаю, и у Вас правильный ответ, и в учебнике. Нормаль, умноженная на ненулевой коэффициент — тоже нормаль. В уравнении плоскости $(\mathbf n, \mathbf r-\mathbf r_0)=0$ вектор нормали можно умножить на ненулевой коэффициент, и это будет уравнение той же плоскости. В Вашем случае возможен такой вид нормали и уравнения, когда корней нет.

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим $x^2+3y^2-4z^2=15$. Локально (в окрестности точки $M_0$) это уравнение той же поверхности. Но с таким уравнением иметь дело приятнее.

[fiztech]

svv
$z_0=\sqrt{4,93}\\ z'_x=\frac{x}{2 \sqrt{x^2+3y^2-15}}\\ z'_y=\frac{3x}{2 \sqrt{x^2+3y^2-15}}\\ $

Значения частных производных в точке $M_0$

$z'_x (2;-3,2)=\frac{1}{\sqrt{19,72}}\\ z'_y (2;-3,2)=\frac{-4,8}{\sqrt{19,72}}$

Подставляем в уравнение касательной :

$z- \sqrt{4,93}=\frac{1}{\sqrt{19,72}} (x-2) + \frac{-4,8}{\sqrt{19,72}} (y+3,2)$

Здесь я не вижу , как избавиться от корней

[svv]

Простите, а что такое $z_0$, разве это не $2$ (координата $z$ точки $M_0$, данная по условию)?

[fiztech]

svv
оййййййййй
Точно. Что-то я совсем уж.... Спасибо большое

[svv]

Можно и так.

1) Упрощаем уравнение, получаем $f(x,y,z)=x^2+3y^2-4z^2-15=0$. В результате просто добавились точки с отрицательными $z$, симметричные уже бывшим «положительным», но в малой окрестности $M_0$ поверхность не изменилась.

2) Находим $\operatorname{grad}f=(2x, 6y, -8z)=2(x,3y,-4z)$
Это нормаль. Множитель $2$ выбрасываем.

3) Подставляем сюда $(x,3y,-4z)$ координаты $M_0$ и получаем то, что в учебнике.