Нахождение определителя матрицы

[Teftel]

Матрица $A$ размера $n \cdot n$.
$a_{i,j} = b_i \cdot b_j$ при $i \not= j $
и
$a_{i,j} = b_i ^2+k$ при $i = j$
где $b_i$,$b_j$ - элементы некоторого массива размера $n$.
Необходимо вычислить определитель.

Видно, что $a_{i,j} =a_{j,i}$ , т.е. матрица симметрична относительно своей диагонали. Любая симметричная матрица может быть приведена к диагональному виду. Определитель диагональной матрицы можно получить путём перемножения элементов, стоящих на главной диагонали. Значит, задача в том, чтобы понять, какие конкретные значения будут стоять на диагонали.
Очевидно, что элемент $a_{1,1}$ останется тем же, что и был.
$a_{2,2}=b_2^2+k - \frac{a_{1,2}\cdot a_{2,1}}{a_{1,1}} =b_2^2+k - \frac{b_1^2 \cdot b_2^2}{b_1^2+k}$,
т.е. то, что получается после вычета из второй строки первой, помноженной на такое выражение, чтобы элемент на пересечении второй строки и первого столбца обнулился.
На следующем по диагонали элемента останется след не только от сложения с первой строкой, но и от сложения со второй (для обнуления элемента на пересечении третьей строки и второго столбца), т.е.
$a_{2,2}=b_2^2+k - \frac{a_{1,3} \cdot a_{3,1}}{a_{1,1}} - \frac{a_{2,3} \cdot a_{3,2}}{a_{2,2}} =b_2^2+k - \frac{b_1^2 \cdot b_3^2}{b_1^2+k} - \frac{b_2^2 \cdot b_3^2}{b_2^2+k}$
И так далее.

Вопрос в том, правильно ли я вообще рассуждаю? Может есть какой-либо способ сделать всё быстрее и проще?

[patzer2097]

Можете попробовать доказать, что у матрицы $bc^\top$, где $b,c\in\mathbb{R}^n$, характеристический многочлен равен $(-t)^{n}+(b,c)(-t)^{n-1}$. А отсюда Вы легко найдете определитель Вашей матрицы $A$.

[Xaositect]

Или докажите, что вектор $b = \left(b_1\ b_2\ \dots\ b_n\right)^T$ и все векторы, перпендикулярные $b$, являются собственными, найдите СЗ и определитель.

[ewert]

Teftel в сообщении #869668 писал(а):

$a_{i,j} = b_i \cdot b_j$ при $i \not= j $
и
$a_{i,j} = b_i ^2+k$ при $i = j$

Это же просто растянутый и затем сдвинутый одномерный ортопроектор. У ортопроектора собственные числа очевидны: 0 и 1, причём у одномерного единичка ровно одна; откуда и все собственные числа сразу известны.

[Teftel]

Спасибо всем огромное за ответы!

Xaositect в сообщении #869677 писал(а):

Или докажите, что вектор $b = \left(b_1\ b_2\ \dots\ b_n\right)^T$ и все векторы, перпендикулярные $b$, являются собственными, найдите СЗ и определитель.

Так, доказать что вектор $b$ собственный можно, умножив матрицу на данный вектор, получить снова этот вектор, вынеся константное значение, соотвественно, это и есть определение собственного вектора. Но как доказать, что с перпендикулярными ему векторами будет тоже самое?

ewert в сообщении #869689 писал(а):

Это же просто растянутый и затем сдвинутый одномерный ортопроектор.

Одномерный ортопроектор должен выглядеть как вектор, состоящий из 0 и 1, правильно? А как это расстянутый и затем сдвинутый? Чтобы просто понять, как из одномерного ортопроектора получилась такая матрица.

[ewert]

У Вас там скалярная матрица (т.е. кратная единичной) прибавляется к матрице, получаемой как матричное умножение столбца на строку. Прибавление скаляра -- это просто соответствующий сдвиг всех собственных чисел. А умножение столбца на ровно такую же строку, в переводе на язык скалярных произведений -- это был бы в точности ортопроектор на соотв. вектор, если бы норма этого вектора была единичной. Ну а так -- это ортопроектор, умноженный на квадрат нормы вектора.

(это в вещественном пространстве, конечно; но в комплексном достаточно эту конструкцию лишь чуток подкрутить)

[svv]

Teftel в сообщении #870032 писал(а):

Но как доказать, что с перпендикулярными ему векторами будет тоже самое?

$A=bb^T+kE$
Если $b^Tx=0$, то $Ax=kx$.

[patzer2097]

А зачем ограничивать общность, сводя все к вещественному полю и говоря об ортопроекторах?

Ведь над любым полем характеристический многочлен матрицы $bc^\top$ равен $(-\lambda)^n+\operatorname{tr}(bc^\top)(-\lambda)^{n-1}$, потому что миноры порядка $2$ и больше обнуляются. Осталось заметить, что $\operatorname{tr}(bc^\top)=c^\top b$