2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Производная неявной функции
Сообщение29.05.2014, 23:00 


12/07/11
28
Помогите разобраться с двумя задачками:
1) Для функции $z=z(x,y)$, определяемой уравнением $y-z=e^{xz}$, найти $dz$ и $d^2z$ в точке (1, 1).


Первый дифференциал я нашел легко, просто взял производную:
$dy-dz=e^{xz}(zdx-xdz) \Rightarrow dz=\frac{ze^{xz}dx-dy}{xe^{xz}-1}$
Со вторым дифференциалом все сложнее, пробовал взять производную:
$d^2y-d^z=(e^{xz}(zdx-xdz))'$, после чего все это раскрывается в адски большую формулу и вообще не похоже на правду.
Ещё смущает то, что вроде как есть такая формула для функции многих переменных: $df(x_1,\dots,x_k)=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\dots+\frac{\partial f}{\partial x_k}dx_k$, но вот как брать производную, например по $x$, в данном случае не знаю, так как не могу выразить $z$ явно.
Вроде бы должна быть какая-то формула для выражения дифференциала неявной функции, но как-то не могу её найти.

2) Для функции $z(x,y)$ найти производную $\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}$ при $u=2,v=1$, если
$x=u+v^2$
$y=u^2-v^3$
$z=2uv$


Для начала пробовал найти $du, dv$ через $dx, dy$, получил:
$dx=du+2vdv\\dy=2udu-3v^2dv\\dz=2vdu+2udv$
отсюда выразил $du$ и $dv$.
Но не могу понять как делать дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная неявной функции
Сообщение30.05.2014, 00:09 


29/09/06
4552
l1pton17 в сообщении #869406 писал(а):
$dy-dz=e^{xz}(zdx{\color{magenta}{}-{}}xdz)$
Утром проверьте обоснованность того минуса, что я разукрасил. Я тоже ещё проверю, но не сейчас...

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная неявной функции
Сообщение30.05.2014, 00:57 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
l1pton17 в сообщении #869406 писал(а):
после чего все это раскрывается в адски большую формулу и вообще не похоже на правду
Сочуствую (это я про "адски большую"), но само по себе — не криминал. А почему не похоже на правду? Где вы её (правду) такую непохожую взяли?
l1pton17 в сообщении #869406 писал(а):
не могу понять как делать дальше
А с какого именно места проблем? Вторая производная — она в точности такая же как первая. Только вторая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная неявной функции
Сообщение30.05.2014, 11:44 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
l1pton17 в сообщении #869406 писал(а):
как брать производную, например по $x$, в данном случае не знаю, так как не могу выразить $z$ явно
Как обычно: просто возьмите производную от обеих частей соответствующего уравнения, а уже из получившегося уравнения находите производную $z$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group