Инвариантное подпространство операторов

[l1pton17]

Задача: Есть два комплексозначиных оператора, которые в квадрате дают единичную матрицу. Всегда ли существует их общее инвариантное одномерное или двумерное подпространство?
Мое решение:
Пусть операторы $A$ и $B$. Квадрат - $E$, значит они не вырождены. Тогда у их произведения всегда будет ненулевой корень, то есть одномерное инвариантное подпространство.
Тогда существует $v$: $AB(v) = l v$ (поскольку произведение в квадрате тоже дает $E$, l может равняться либо 1, либо -1, но это неважно). Тогда смотрим, куда $B$ переводит $v$. Если v инвариантен относительно $B$, то он инвариантен и относительно $A$, то есть это общее одномерное инвариантное подпространство. Пусть это не так. Тогда $B(v) = u$ (и $u$ и $v$ линейно независимы). Поскольку $B^2 = E$, то $B(u) = v$. Поскольку $AB(v) = v = A(u)$ и $A^2 = E$, то $A(v) = u$, то есть $u$ и $v$ - общее двумерное инвариантное.

Правильно ли решаю?