Проверьте задачку на двойной интеграл

[GlazkovD]

1<Offtop>
Я заочник однако к сожалению(или к счастью) делаю
высшую математику сам. Контрольные не покупаю.
Все прохожу сам.
Вот решил следующее задание из своей контрольной.
</offtop>
Если кому не лень, проверьте правильность подхода

Задание

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных
координатах площадь фигуры, ограниченной кривой,
заданной уравнением в декартовых координатах.
Параметр

$$a$$

положителен.

$${$( $x ^2 +$y ^2 ) ^7 =$a ^8 $x ^2 $y ^4 }$$

=======МОЕ РЕШЕНИЕ=============
1) Переведем неявную функцию в полярные координаты

$$ $x$= $\rho$cos($\phi$)$$

$$ $y$= $\rho$sin($\phi$)$$

$$ $($\rho ^2 cos ^2 $\phi +$\rho ^2 sin ^2 $\phi )^7 =$a$^8$\rho$^2 cos ^2 $\phi$ \rho$^4 sin ^4 $\phi$ $$

2) Упростим полученное выражение и выразим явную функцию

$$$\rho$($\phi$)$$

$$ $(\rho$ ^2 $(cos ^2 $\phi$ +sin ^2 $\phi$)) ^7 =$a$^8$\rho$^2 cos ^2 $\phi$ \rho$^4 sin ^4 $\phi$ $$

$$ $\rho$^{14} = $a$ ^8 $\rho$ ^6 cos ^2 $\phi$ sin ^4 $\phi$ $$

$$ $\rho$ ^ 8 = $a$ ^8 cos ^2 $\phi$ sin ^4 $\phi $ $$

$$ $\rho$ = $($a$^8 cos ^2 $\phi$ sin ^4 $\phi$ )^ {1/8}$$

График данной функции выглядит так:


По графику видно что достаточно найти площадь одного "лепестка"
а затем его площадь умножить на 4(т.к их всего 4)

Если я не ошибаюсь, то площадь S плоской области S выражается формулой

$S1=$$ { $\int_{S}^{} \int_{}^{} {$\rho$} {d$\rho$} d$\phi$ $$ $}$$$

Для нашей функции формула примет вид.

$$S1=$$

$$\int\limits_{0}^{{\frac {\pi} {2}}} d\phi $$

$$\int\limits_{0}^{\rho(\phi)} \rho d\rho $$

где

$$\rho(\phi)$$

$$=$$

$$$($a$^8 cos ^2 $\phi$ sin ^4 $\phi$ )^ {1/8}$$

Двойной интеграл свелся к повторному(последовательному) интегрированию

И общая площадь фигуры

$$S=4S1$$

[незваный гость]

Подход правильный. Могу проверить и ответ.

[GlazkovD]

Спасибо

[Pyphagor]

Все правильно. Только когда Вы говорите "по графику видно" - не совсем корректно.
Тот факт, что функция выглядит в виде 4-х лепестков, следует из того, что
$sin$ и $cos$ входят в функцию с четными степенями.