Оценка несобст интеграла

[MestnyBomzh]

нужно док-ть, что: $0,25 < \int_{1}^{\infty } \frac{1+x^6}{1+x^{11}}dx < 0,35$.
Вообщем идея такая: взять две функции, которые строго больше и меньше подинтегральной функции ($\forall x > 1$). Ну и подобрать их так, чтобы их площадь была равна $0.25$ и $0.35$. Например, $\frac{0.25}{x^2}$. Но, нам нужно, чтобы эти функции проходили через точку $(1;1)$, вот тут уже возникают трудности. Не могли бы вы подсказать, как их подобрать

[SpBTimes]

А точно это правильно?

$$ \frac{1 + x^6}{1 + x^11} \leqslant \frac{1 + x^6}{x^{11}} $$

[ewert]

SpBTimes в сообщении #868617 писал(а):

А точно это правильно?

$$ \frac{1 + x^6}{1 + x^11} \leqslant \frac{1 + x^6}{x^{11}} $$

Так это как раз и даёт верхнюю оценку. А снизу -- надо вынести одиннадцатую степень в знаменателе за скобки и для дроби $\dfrac1{1+x^{-11}}$ в качестве оценки снизу взять первые два члена геометрической прогрессии.

[ewert]

Упс, пардон. Двух недостаточно, надо четыре; что хоть чуть-чуть, но грустно.

Лучше так: $\dfrac{1+x^6}{1+x^{11}}=\dfrac{x^6}{x^{11}}\cdot\dfrac{1+x^{-6}}{1+x^{-11}}>\dfrac{x^6}{x^{11}}.$

[MestnyBomzh]

Ну да, а $\frac{1+x^{-6}}{1+x^{-11}}>1$ при $x>1$.
Но как до этого догадаться?

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #868847 писал(а):

Но как до этого догадаться?

Исключительно методом научного тыка. Т.е. потыкаться туда-сюда. Вот я ведь не сразу допёр. Только после того, как увидел, что мой предыдущий (лобовой) вариант работает со страшным скрыпом (хотя и работает) -- начал тыкаться. Ну и наткнулся.