Оценка максимума функции

[Limit79]

Здравствуйте!

Решая бОльшую задачу, столкнулся с такой подзадачей: оценить максимум модуля второй производной функции

$$f(x)=\cos(3x+6) \ln(x)$$

на отрезке

$$[0.2;0.9]$$

Вторая производная

$$f''(x) = - \frac{\cos(3x+6)}{x^2} - \frac{6 \sin(3x+6)}{x} - 9 \ln(x) \cos(3x+6)$$

Возьмем от обоих частей модуль, тогда:

$$|f''(x)| \leqslant \left | - \frac{\cos(3x+6)}{x^2} - \frac{6 \sin(3x+6)}{x} - 9 \ln(x) \cos(3x+6) \right |$$

или

$$|f''(x)| \leqslant \left | \frac{\cos(3x+6)}{x^2} \right | + 6 \left | \frac{\sin(3x+6)}{x} \right | +9 \left | \ln(x) \cos(3x+6) \right |$$

$\sin(3x+6) \leqslant 1$ и $\cos(3x+6) \leqslant 1$, тогда:

$$|f''(x)| \leqslant \frac{1}{0.2^2} + 6 \cdot \frac{1}{0.2} +9 \left | \ln(0.2) \right |$$

и

$$|f''(x)| \leqslant 69.485$$

Матпакеты говорят, что на данном отрезке $\max |f''(x)| \approx 19.338$

То есть различие существенно...

В методичке есть аналогичный пример, и они там также оценивают, но у них оценка получается очень хорошая.

Подскажите, пожалуйста, это я что-то делаю не так, или с тем примером, который в методичке (в котором получена хорошая оценка) просто повезло?

[Vince Diesel]

Не знаю, что в методичке, но матпакеты могут еще график второй производной построить. Из которого видно, что она отрицательна и возрастает на отрезке, так что максимум модуля достигается на левом конце. Поэтому достаточно было бы доказать, например, что третья производная положительна на этом отрезке.

[svv]

WolframAlpha: plot (cos(3x+6)*ln(x))'' where x=0.2 to 0.9

[Limit79]

Vince Diesel
Матпакетами пользоваться, к сожалению, нельзя.

svv
Отрезок немного другой.

[svv]

Спасибо, исправил.

[Limit79]

svv
То есть, получается, что

Цитата:

Матпакеты говорят, что на данном отрезке $\max |f''(x)| \approx 19.338$

-- 27.05.2014, 20:18 --

Собственно говоря, меня интересует правильность моей оценки...

[svv]

Получается, что известна даже не оценка, а точное значение максимума: $-f''(0.2)$.

[Limit79]

svv
Понимаете, мне нужна именно оценка, и именно тем методом, что описан в первом посте, вся соль в этом

[ИСН]

Тем методом, что описан в первом посте, получается то, что описано в первом посте.

[Limit79]

ИСН
Тогда все отлично, это и требовалось

ИСН
svv
Vince Diesel
Спасибо за помощь!