Определить вид сходимости оператора

[artvl]

Помогите решить задачу. Определить вид сходимости интегрального оператора.
$\mathbf B (L_2[0,1]) : A_n = A^n$, где $(Ax)(t) = \int_0^t K(t,s)x(s) ds$ , $ K \in L_2 ([0, 1]^2)$.
Можно оценить $\int^1_0(\int_0^t K(s,t)x(s )ds)^2dt \le ||x(t)||^2\int^1_0(\int_0^1 K^2(s,t)ds)dt$. Но без каких либо оценок на $K$ это ничего не дает.
Утверждается что $A_n \mapsto 0$.

[ewert]

artvl в сообщении #867879 писал(а):

Можно оценить $\int^1_0(\int_0^t K(s,t)x(s )ds)^2dt \le ||x(t)||^2\int^1_0(\int_0^1 K^2(s,t)ds)dt$.

Слишком грубо. Это оператор Вольтерра и, следовательно, нильпотентен (т.е. имеет нулевой спектральный радиус).

[artvl]

Я правильно понимаю, что из этого факта и определения спектрального радиуса прямо следует сходимость по норме к 0?

$$\lim_{n\to \infty} ||A^n||^{1/n} = 0 \Rightarrow ||A_n|| = ||A^n|| \mapsto 0 $$

[ewert]

Правильно понимаете. Я, правда, не очень понимаю (в свою очередь), в чём глубокий философский смысл этой задачки. Нильпотентность оператора Вольтерра общеизвестна, а без неё тут как-то не совсем как или совсем никак. Предлагалось доказать именно её, что ли?...

[artvl]

Честно говоря не уверен что такой смысл есть. Эта задача из книги "Задачи по ФА" Бородин, Шейпак, Савчук. Вдруг кому понадобится.
Спасибо.