Минимальный полином

[Gaary]

Задача
Найти минимальный полином для $1 + \sqrt{2}$ над полем $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$
Решение
Поле $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) =\{a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} | a,b,c \in \mathbb{Q}\}$
Минимальный полином элемента $a$ над полем $P$ называется нормированный полином из $P[x]$ наименьшей степени, корнем которого является $a$.
То есть, необходимо найти $f(x) : f(1 + \sqrt{2}) = 0$

Как искать его, нет никаких идей.

[nnosipov]

Gaary в сообщении #867572 писал(а):

Поле $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) =\{a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} | a,b,c \in \mathbb{Q}\}$

Неверно.

Gaary в сообщении #867572 писал(а):

Задача
Найти минимальный полином для $1 + \sqrt{2}$ над полем $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$

Да уж ... Попробуйте сначала найти минимальный многочлен для числа $1$ над полем $\mathbb{Q}$.

[Gaary]

Да, поле $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) =\{a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} | a,b,c,d \in \mathbb{Q}\}$

Минимальный многочлен для числа 1 над полем $\mathbb{Q}$ равен $x-1$. Верно?

[nnosipov]

Gaary в сообщении #867585 писал(а):

Верно?

Верно.

[Gaary]

То есть, я могу сказать, что минимальный полином для $1 + \sqrt{2}$ будет $x - 1 - \sqrt{2}$?

[nnosipov]

Ну да. Какая-то глупая задача. Уточните формулировку у своего преподавателя.

[Gaary]

Спасибо, уточню.