2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Жорданова форма AX-XA
Сообщение23.05.2014, 18:01 


23/05/14
33
Пусть $A$ - нильпонетная матрица ранга $n-1$. $A \in \mathbb{C}^{n\times n}$. Требуется найти Жорданову форму(с.з. и порядки клеток) оператора $F(X) = [A,X]$, где $[,]$ - коммутатор матриц.
Удалось показать нильпонентность $F$, ибо $F^n(X) = \sum_{i=0}^{n} C_{n}^i(-1)^iA^{n-i}XA^i$, Построить цикл. подпространство наибольшей размерности - $2n-1$.
Мое предположение, что все клетки имеют размер $2n-1,2n-3,...,3,1$. Пытался показать это индукцией, но нет идей, как построить переход.
Так вот. Может кто подсказать идею для решения этой задачи? Или идею, как построить индукцию в этой задаче?

 i  Deggial: все формулы и термы оформляйте $\TeX$ом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма AX-XA
Сообщение23.05.2014, 18:11 
Заслуженный участник


14/03/10
867
takeover в сообщении #867022 писал(а):
Удалось показать нильпонентность $F$

Это Вы ошиблись. В общем случае про коммутатор мало что можно сказать. Например, у матриц $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$ он равен $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма AX-XA
Сообщение23.05.2014, 18:13 


23/05/14
33
patzer2097 в сообщении #867027 писал(а):
takeover в сообщении #867022 писал(а):
Удалось показать нильпонентность $F$

Это Вы ошиблись. В общем случае про коммутатор мало что можно сказать. Например, у матриц $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$ он равен $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$

И как это противоречит нильпотентности оператора? Да ровно никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма AX-XA
Сообщение23.05.2014, 18:27 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Попробуйте начать с жордановой формы матрицы $A$, она достаточно простая должны быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма AX-XA
Сообщение23.05.2014, 18:29 


23/05/14
33
AV_77 в сообщении #867037 писал(а):
Попробуйте начать с жордановой формы матрицы $A$, она достаточно простая должны быть.

Ну, конечно, первым делом я привел $A$ к ЖНФ - один блок порядка $n$. И рассматривал этот оператор, считая, что $A$ - блок изначально. С этим проблем нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма AX-XA
Сообщение23.05.2014, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории

(Оффтоп)

АХХАха, Жордан, прекрати, что ты делаешь.

takeover в сообщении #867028 писал(а):
И как это противоречит нильпотентности оператора? Да ровно никак.
:shock: :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма AX-XA
Сообщение23.05.2014, 18:42 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
ИСН в сообщении #867042 писал(а):
takeover в сообщении #867028 писал(а):
И как это противоречит нильпотентности оператора? Да ровно никак.
:shock: :shock:

А что тут удивительного? Задана нильпотентная матрица $A$ и с ее помощью определяется оператор $F$ на множестве матриц, действующий коммутированием с $A$. Он тоже будет нильпотентным.

Например, для $A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ оператор $F$ на матрицу $X = (x_{ij})$ действует следующим образом
$$
F(X) = \begin{pmatrix}
x_{21} & x_{22} - x_{12} \\ 0 & -x_{21}
\end{pmatrix}
$$

-- Пт май 23, 2014 19:46:05 --

takeover в сообщении #867041 писал(а):
Ну, конечно, первым делом я привел $A$ к ЖНФ - один блок порядка $n$. И рассматривал этот оператор, считая, что $A$ - блок изначально. С этим проблем нет.

Тогда размерность ядра найдите, получите число жордановых клеток.

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма AX-XA
Сообщение23.05.2014, 18:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
patzer2097 в сообщении #867027 писал(а):
takeover в сообщении #867022 писал(а):
Удалось показать нильпонентность $F$
Это Вы ошиблись.

Ну ошибся или нет -- а нильпотентность коммутатора в данном случае действительно достаточно очевидна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма AX-XA
Сообщение23.05.2014, 18:56 


23/05/14
33
AV_77 в сообщении #867045 писал(а):
Тогда размерность ядра найдите, получите число жордановых клеток.

Это я тоже нашел, но забыл упомянуть.
$\operatorname{Ker} F: dim \operatorname{Ker} F = n$. Если $A$- Жорданова клетка, то ядро состоит из матриц $X=(x_{ij}): \forall k = 0,...,n-1 \forall i,j,u,v: j=i+k,v=u+k \Rightarrow x_{ij} =x_{uv}$. (Т.е. все элементы на верхних "диагоналях" равны). А все элементы под главной диагональю - равны нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма AX-XA
Сообщение23.05.2014, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ах, оператор на множестве матриц? А, ну да, вон же написано: F(X). Не заметил. Тогда ОК.

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма AX-XA
Сообщение23.05.2014, 19:12 
Заслуженный участник


14/03/10
867
ИСН в сообщении #867058 писал(а):
Ах, оператор на множестве матриц? А, ну да, вон же написано: F(X). Не заметил. Тогда ОК.
Да, я тоже не обратил на это внимание в первом ответе :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма AX-XA
Сообщение23.05.2014, 22:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
takeover в сообщении #867055 писал(а):
(Т.е. все элементы на верхних "диагоналях" равны)

Ну хорошо, предположим, что это именно полное описание ядра (я не проверял, полное оно или нет; но -- допустим, и это безусловно так по дальнейшим соображениям). Это означает, что базисом ядра являются матрицы $A^k,\ k=0,1,2,\ldots,n-1$. Уж во всяком случае каждая из этих матриц очевидным образом принадлежит ядру оператора $F$.

Тогда напрашивается естественная гипотеза (вполне естественная при всей своей нахальности): а не является ли каждая из этих матриц вершиной соответствующей циклической цепочки с $(2k)$ присоединёнными элементами?...

Что касается $A^{n-1}$, т.е. с единичкой в правом верхнем углу и остальными нулями, то тут всё очевидно. Берём в качестве кандидатки на дно соответствующей циклической цепочки матрицу с, наоборот, единичкой в левом нижнем углу. Последовательные действия оператора $F$ на такую матрицу сводятся к тому, что её единственная диагональ смещается вправо (или, что эквивалентно, вверх), а стоять на ней будут коэффициенты соотв. конечных разностей; до середины пути -- полные наборы, затем -- урезанные. Во всяком случае, в конце концов мы точно упрёмся именно в $A^{n-1}$ (с точностью до множителя), что и требуется.

Теперь присмотримся к $A^{n-2}$. Возьмём для затравки матрицу с ненулевой диагональю длины два, примыкающей к левому нижнему углу. Она -- двухпараметрическая; а получить нам хочется в конце концов аналогичную матрицу с ненулевой диагональю вверху справа с двумя одинаковыми ненулевыми элементами. Ну это явно можно.

И вообще, вопрос сводится к следующему. Для каждой степени рассмотрим набор матриц, у каждой из которых один элемент соответствующей диагонали снизу равен единице, а все остальные (и вообще все остальные) -- нули. Тогда всё, что требуется -- это доказать, что все итерации таких матриц на нужном отрезке остаются линейно независимыми. Честно скажу, что я этого не доказывал за леностью; но и не верю, что там могут возникнуть какие-то подводные камни.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group