(Т.е. все элементы на верхних "диагоналях" равны)
Ну хорошо, предположим, что это именно полное описание ядра (я не проверял, полное оно или нет; но -- допустим, и это безусловно так по дальнейшим соображениям). Это означает, что базисом ядра являются матрицы

. Уж во всяком случае каждая из этих матриц очевидным образом принадлежит ядру оператора

.
Тогда напрашивается естественная гипотеза (вполне естественная при всей своей нахальности): а не является ли каждая из этих матриц вершиной соответствующей циклической цепочки с

присоединёнными элементами?...
Что касается

, т.е. с единичкой в правом верхнем углу и остальными нулями, то тут всё очевидно. Берём в качестве кандидатки на дно соответствующей циклической цепочки матрицу с, наоборот, единичкой в
левом нижнем углу. Последовательные действия оператора

на такую матрицу сводятся к тому, что её единственная диагональ смещается вправо (или, что эквивалентно, вверх), а стоять на ней будут коэффициенты соотв. конечных разностей; до середины пути -- полные наборы, затем -- урезанные. Во всяком случае, в конце концов мы точно упрёмся именно в

(с точностью до множителя), что и требуется.
Теперь присмотримся к

. Возьмём для затравки матрицу с ненулевой диагональю длины два, примыкающей к левому нижнему углу. Она -- двухпараметрическая; а получить нам хочется в конце концов аналогичную матрицу с ненулевой диагональю вверху справа с двумя одинаковыми ненулевыми элементами. Ну это явно можно.
И вообще, вопрос сводится к следующему. Для каждой степени рассмотрим набор матриц, у каждой из которых один элемент соответствующей диагонали снизу равен единице, а все остальные (и вообще все остальные) -- нули. Тогда всё, что требуется -- это доказать, что все итерации таких матриц на нужном отрезке остаются линейно независимыми. Честно скажу, что я этого не доказывал за леностью; но и не верю, что там могут возникнуть какие-то подводные камни.