Задача по Теоретической Механике

[ShuvalovAndrey]

Добрый вечер,помогите решить задачу по теормеху.

Функция $\varphi(x,\dot{x})$ является первым интегралом уравнения движения $\ddot{x}=f(x,\dot{x})$. Показать, что общее решение $x=x(x_0,\dot{x_0},t)$ этого уравнения совпадает с общим решением уравнения Лагранжа с функцией Лагранжа $\L(x,\dot{x})=\dot{x}\int\limits_{0}^{\dot{x}} \frac{\varphi(x,y)}{y^2} \mbox{d}y$ (интегрирование по по у производится при постоянном х)

[Oleg Zubelevich]

$\varphi(x,\dot x)\equiv 0$ устроит?

[ShuvalovAndrey]

Как так быстро пришли к ответу?

[Oleg Zubelevich]

опыт общения с двоешниками сказывается

[ShuvalovAndrey]

Причем тут двоешники? Просто у меня возникают трудности с производными по времени в уравнении Лагранжа. Не совсем понимаю что делать с переменным верхним пределом.

[Oleg Zubelevich]

сначала правильно сформулируйте утверждение

[ShuvalovAndrey]

Вот какое уравнение получилось

$\frac{d}{dt}(\dot{x}\int \limits_{0}^{\dot{x}}\frac{\varphi(x,y)}{y^2}\mbox{d}y+\frac{\varphi(x,\dot{x})}{\dot{x}}) - \frac{d}{dx}(\dot{x}\int \limits_{0}^{\dot{x}}\frac{\varphi(x,y)}{y^2} \mbox{d}y)=0$


Может быть применить
$\frac{d}{dt}=\frac{d}{d\dot{x}}\frac{d\dot{x}}{dt}$


Получается так?

$\frac{d}{dt}(\dot{x}\int \limits_{0}^{\dot{x}}\frac{\varphi(x,y)}{y^2}\mbox{d}y - \frac{\varphi(x,\dot{x})}{\dot{x}}) = \frac{\varphi(x,\dot{x})}{{\dot{x}}^2}\ddot{x}+\frac{\dot{\varphi}(x,\dot{x})\dot{x}-\varphi(x,\dot{x})\ddot{x}}{{\dot{x}}^2} = \frac{\varphi(x,\dot{x})}{\dot{x}} $

И чему тогда равно $\frac{d}{dx}(\dot{x}\int \limits_{0}^{\dot{x}}\frac{\varphi(x,y)}{y^2}\mbox{d}y)$

[Oleg Zubelevich]

Теорема. Предположим, что функция $\varphi(x,\dot x),\quad \varphi_{\dot x}(x,\dot x)\ne 0$ является первым интегралом дифференциального уравнения

$$\ddot x=f(x,\dot x).\qquad (*)$$

Тогда (*) это уравнение Лагранжа с лагранжианом $L(x,\dot x)=\dot x\int_c^{\dot x}\frac{\varphi(x,y)}{y^2}dy$. Константа $c$ такова, что $0\not\in[c,\dot x]$.


Указание: проверить сперва, что функция $\varphi$ является (обобщенным) интегралом энергии системы с лагранжианом $L$.

[ShuvalovAndrey]

$H=\sum \dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}} - L = \dot{x}(\int \limits_{0}^{\dot{x}}\frac{\varphi(x,y)}{y^2}\mbox{d}y+\frac{\varphi(x,\dot{x})}{\dot{x}}) - \dot{x}\int \limits_{0}^{\dot{x}}\frac{\varphi(x,y)}{y^2}\mbox{d}y={\varphi(x,\dot{x})}$

[ShuvalovAndrey]

Что делать дальше?

[Oleg Zubelevich]

ну как, что делать? Вы , ведь ,даже переписать правильно не в состоянии, тут уж делай не делай -- бесполезно.

[ShuvalovAndrey]

Что я не переписал?