Дифференцируемость интеграла комплекснозначной функции

[ellipse]

Пусть у функции $f(t)$ есть особенность в точке $a$.
При каких условиях функция $f(z)=\int_{a}^{z}f(t)dt$ будет (не будет) дифференцируемой (аналитической) в точке $a$?

Например, нужно определить, является ли функция
$f(z)=\int_{a}^{z}\frac{\sin t}{t}dt$ целой.

[Brukvalub]

ellipse в сообщении #866035 писал(а):

Пусть у функции $f(t)$ есть особенность в точке $a$.
При каких условиях функция $f(z)=\int_{a}^{z}f(t)dt$ будет (не будет) дифференцируемой (аналитической) в точке $a$?

Например, нужно определить, является ли функция
$f(z)=\int_{a}^{z}\frac{\sin t}{t}dt$ целой.

У последней функции под интегралом находится целая функция, поэтому и сам интеграл - целая функция.

[ellipse]

Как понимаю, в этом случае $f(z)=\int_{0}^{z}\frac{1-\cos t}{t^2}dt$ ситуация такая же, то есть подынтегральную функцию можно аналитически продолжить в 0?

А как быть в других случаях?

Например
$f(z)=\int_{1}^{z}\frac{1}{t}dt$

Здесь подынтегральная функция имеет полюс в 0, то есть неустранимую особенность.

[Brukvalub]

ellipse в сообщении #866191 писал(а):

Как понимаю, в этом случае $f(z)=\int_{0}^{z}\frac{1-\cos t}{t^2}dt$ ситуация такая же, то есть подынтегральную функцию можно аналитически продолжить в 0?

А как быть в других случаях?

Например
$f(z)=\int_{1}^{z}\frac{1}{t}dt$

Здесь подынтегральная функция имеет полюс в 0, то есть неустранимую особенность.

В первом случае - вы правы. Во втором случае первообразная получит в 0 логарифмическое ветвление, то есть найти одну первообразную без предварительной хирургии разрезания плоскости невозможно.