Группа подстановок

[eg__13]

Вот такая вот задача:
Выяснить, есть ли в группе $S_5$ несопряженные элементы одинаковых порядков.

Перебором нашлось около 150 пар, подходящих под условие. Но как решить задачу не прибегая к перебору? Подтолкните меня в правильном направлении, а то не знаю с какой стороны подступиться

[patzer2097]

eg__13 в сообщении #864592 писал(а):

Но как решить задачу не прибегая к перебору?

Вспомните, чему равен порядок перестановки $\pi$ и ее класс сопряженности, если $\pi$ является произведением независимых циклов длин $l_1,\ldots, l_t$.

[eg__13]

Порядок перестановки равен $\textrm{НОК}(l_1, \ldots, l_t)$, а класс сопряженности $g\pi g^{-1}$.
Только я не понимаю, как мне связать длинны циклов со всем остальным.

[patzer2097]

eg__13 в сообщении #864788 писал(а):

Порядок перестановки равен $\textrm{НОК}(l_1, \ldots, l_t)$

Это правильно.

eg__13 в сообщении #864788 писал(а):

а класс сопряженности $g\pi g^{-1}$

Это лишь общее определение сопряженности. А как меняется перестановка при сопряжении? Можете попробовать сказать, какие из перестановок $(123)$, $(1234)$, $(145)(23)$, $(123)(45)$ будут сопряжены друг с другом?

[eg__13]

Будут сопряжены только две последние? Т.е. сопряженными будут те подстановки, которые имеют одинаковое число циклов равной длины? Только вот как теперь это доказать...

[patzer2097]

eg__13 в сообщении #864894 писал(а):

Т.е. сопряженными будут те подстановки, которые имеют одинаковое число циклов равной длины?

Это верно!

eg__13 в сообщении #864894 писал(а):

Только вот как теперь это доказать...

Ну смотрите, вот Вам перестановка $\pi=(123)(45)$ и какая-то перестановка $\tau$. Чему равна $\tau \pi \tau^{-1}$? Для начала: куда перейдет число $\tau(1)$ под действием $\tau \pi \tau^{-1}$?

[eg__13]

patzer2097, забыл Вам отписаться, что задачу решил и успешно сдал) Спасибо Вам огромное!