Человек стоит на диске, который вначале неподвижен, но может

[melnikoff]

Человек стоит на диске, который вначале неподвижен, но может вращаться относительно вертикальной оси, проходящей через его центр. Момент инерции диска с человеком $I=48\text{кг}\cdot\text{м}^2$. В руках человек держит колесо, ось которого вертикальна и расположена на расстоянии $r_0=50 \text{см}$ от центра диска.
Колесо вращается, делая $n=10 \text{об/с}$. Определить угловую скорость вращения диска $\Omega$, если человек повернет ось колеса на 180°. Масса колеса m=3 кг.
В условии задачи не дан радиус колеса $r$. Будем считать, что он известен, так как без него условий не достаточно.

Мое решение:

Итак, в начале платформа неподвижна. Момент импульса колеса относительно оси вращения платформы $O$, вращающегося вокруг собственной оси вращения $O'$, равен $\vec{M_O}=\sum \left[\vec{r_0}+\vec{r},\, d\vec{p}\,\right]=\sum \left[\vec{r_0},\, d\vec{p}\,\right]+\sum \left[\vec{r},\, d\vec{p}\,\right]=0+mr^2\omega\vec{k}$.
То есть получается, что моменты импульса вращающегося колеса на неподвижной платформе относительно осей $O$ и $O'$ равны. Это правильно?
Далее ось вращения колеса повернули на 180°.
$\vec{M'_O}=I\Omega\vec{k} +\sum \left[\vec{r_0}+\vec{r},\, \left(\vec{v}+\Omega\left|\vec{r_0}+\vec{r}\,\right|\vec{e_v}\right)dm\right]=I\Omega\vec{k} +\sum \left[\vec{r_0}+\vec{r},\, \vec{v}dm\,\right]+\\+\Omega\sum \left|\vec{r_0}+\vec{r}\,\right|dm\left[\vec{r_0}+\vec{r},\, \vec{e_v}\,\right]=\\=I\Omega\vec{k}-mr^2\omega\vec{k}+\Omega\sum \left|\vec{r_0}+\vec{r}\,\right|dm\left|\vec{r_0}+\vec{r}\,\right|\vec{k}=I\Omega\vec{k}-mr^2\omega\vec{k}+\vec{k}\Omega\int\limits_{0}^{2\pi r}(r^2+2rr_0\cos\alpha+r_0^2)\frac{m}{2\pi r}dl=I\Omega\vec{k}-mr^2\omega\vec{k}+\Omega m(r^2+r_0^2)\vec{k}.$
$\vec{M_O}=\vec{M'_O}$ – закон сохранения момента импульса.
$mr^2\omega\vec{k}=I\Omega\vec{k}-mr^2\omega\vec{k}+\Omega m(r^2+r_0^2)\vec{k},$
$mr^2\omega=I\Omega-mr^2\omega+\Omega m(r^2+r_0^2),$
$\Omega=\frac{2mr^2\omega}{I+m(r^2+r_0^2)}=\frac{2mr^22\pi n}{I+m(r^2+r_0^2)}.$
Все верно?

[Oleg Zubelevich]

Задача сформулирована невнятно. Подразумевается, очевидно, что проекция кинетического момента системы относительно точки $O$ на вертикальную ось сохраняется.

Кинетический момент твердого тела вычисляется по следующей формуле:
$$\overline K_O=m[\overline{OS},\overline v_S]+J_S\overline\omega$ где $S$ -- центр масс; $J_S$ -- оператор инерции в точке $S$.

[melnikoff]

Oleg Zubelevich, так я не понял, я правильно решили или нет?

[Oleg Zubelevich]

Понятия не имею. Есть стандартные формулы и стандартные термины. А вникать в эту вашу кашу странную, кому надо-то?

[DimaM]

melnikoff в сообщении #864488 писал(а):

я правильно решили или нет?

По-моему, правильно.

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich просто не знает слов "момент импульса".