Исследование ряда на сходимость

[tech]

Здравствуйте.
Собственно, есть ряд с общим членом $a_n=\sin(\pi\sqrt{n^2+1})$.
$a_n=\sin(\pi n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}})=\sin(\pi n(1+\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{8n^4}+o(\frac{1}{n^4})))=$
$=\sin(\pi n+\pi n(\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{8n^4}+o(\frac{1}{n^4})))=$
Синус суммы.
$=\sin(\pi n(\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{8n^4}+o(\frac{1}{n^4})))=\frac{\pi}{2n}+o(\frac{1}{n^2}),\ n\to\infty$
Ряд с общим членом $\pi/2n$ расходится. Ряд с общим членом $o(1/n^2)$ сходится абсолютно. Следовательно, исходный ряд расходится.
В ответе написано, что он сходится.
В чём я ошибаюсь?

[Otta]

tech в сообщении #864260 писал(а):

Сумма синусов.
$=\sin(\pi n(\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{8n^4}+o(\frac{1}{n^4})))$

Здесь нет равенства.

[provincialka]

Там еще знак потерян при отбрасывании $\pi n$

[tech]

Аааа, там же должен знак чередоваться.
$(-1)^{n+1}\cdot\sin(...)=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{2n}+o(\frac{1}{n^2})$
Тогда ряд с первым общим членом сходится по признаку Лейбница, а со вторым – по признаку сравнения, причём абсолютно.
Да уж, интересный пример.
Спасибо.

[provincialka]

Знак знаком, но почему вы игнорируете замечание Otta? Не надо тут никакого Тейлора. Признаком сранения пользоваться нельзя! Это же условная сходимость. Так что давайте сразу Лейбница.

[tech]

provincialka
Я не игнорирую замечание Otta. Тем более замечание Otta я как раз учёл (посмотрите на него ещё раз, оно слегка изменилось).
А признаком сравнения я пользуюсь вот здесь: $|o(\frac{1}{n^2})|\leqslant\frac{1}{n^2}$. Значит, ряд с общим членом $o(\frac{1}{n^2})$ сходится.

[Otta]

tech
Имеете право.
Правда, здесь можно было проще и без Тейлора.

tech в сообщении #864277 писал(а):

посмотрите на него ещё раз, оно слегка изменилось

Это чтобы Вы долго не думали, где именно нет равенства.