Задача на собственные значения -- собственные колебания. Физически линейна, геометрически существенно нелинейна. После разделения переменных получаем.
Матрица A несимметрична. При специально подобранных граничных условиях имеется аналитическое решение в виде частотного уравнения. Две ветви. Частоты сначала растут с номером гармоники (волновым числом), потом убывают, потом снова растут. Все собственные значения действительны.
Получены частоты и построены формы колебаний для жесткой заделки. При близости собственных частот наблюдается взаимная модуляция форм: например, в формах пространственных продольных колебаний появляются характерные черты пространственных поперечных колебаний, и наоборот.
Моё мнение, что в пользу несамосопряженности свидетельствует:
1. несимметричность матрицы A.
2. Рост, потом убывание, потом опять рост собственных частот с увеличением волнового числа.
3. Взаимная модуляция форм колебаний. Для самосопряженной задачи должно исполняться условие ортогональности собственных форм (функций сравнения).
Первый вопрос -- является ли задача несамосопряженной?
Второй вопрос -- есть ли среди несамосопряженных задач частный случай задач с действительными собственными значениями? Если да, каковы их особенности (особенности не в математическом смысле). Подобная несамосопряженная задача есть у Акуленко, Нестерова (Колебания трубопровода с текущей жидкостью, здесь неконсервативная задача).
15.05.2014, 20:05 