Исследовать на непрерывность функцию

[RikkiTan1]

Доброго времени суток! Дана такая функция

$$f=\begin{cases} e^{\frac{-1}{|{x-y}|}},&\text{если $x \neq 0$;}\\ x^2-5x+6,&\text{если $x=y$;}\\ \end{cases}$$

Необходимо исследовать её на непрерывность. Я пришел к тому, что при значениях $x\neq y$ функция будет непрерывна. Потом я находил повторные пределы $\lim\limits_{x \to 0}\lim\limits_{y\to 0}e^{\frac{-1}{|{x-y}|}}$ и $\lim\limits_{x \to 0}\lim\limits_{y\to 0}e^{\frac{-1}{|{x-y}|}}$. Получалось, что они оба равны $0$. Теперь, вроде как, надо взять какую-нибудь прямую, которая проходит через точку (0,0) и показать, что её предел при $x \to 0$ не равен 0. Но чето я даже не знаю как это оформить. Вообщем, точек разрыва я так и не нашел

[gris]

А чему равна функция в точках $(0,0)$ и $(0,0.00001)$?
А в точках $(1,1)$ и $(1,1.00001)$?
А в точке $(0,4)$?

[RikkiTan1]

Так, в $ (0,0)=6$; в $(0,0.00001)\approx0$
в $ (1,1)=2$ в $(1,1.00001)\approx0$
в $(0,4)\approx0.75$
Т.е. точки разрыва лежать на биссектрисе системы координат? Тогда, вроде, вершины параболы $(2,y)(3,y)$ точками разрыва не являются, потому что функция при $(2,2)=0 $ и $(3,3)=0$. Или это не то?

[gris]

Я просто отреагировал на Ваши слова, что точек разрыва не видно.

В условии не должно ли стоять $x\ne y$ в первом пункте, а то получается, что в точке $(0,4)$ функция просто не определена.

И насчёт параболы. Чего это Вы у параболы две вершины насчитали? Можно, конечно, назвать их "нулями" параболы, но лучше просто нулями функции. То есть биссектриса точно, как Вы правильно сказали, состоит из точек разрыва, кроме этих двух точек, $(2,2)$ и $(3,3)$, но это лучше чуть подробнее доказать.