Вычислить интеграл ТФКП

[Katmandu]

Нужно как-то вычислить интеграл

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac {x^{2m}dx} { 1 + x^{2n} } $$

$$ m < n $$

Рассматриваем подынтегральную функцию $ f(x) = \frac {x^{2m}} { 1 + x^{2n} } $
Данная функция имеет $2n$ особых точки: $ x = \sqrt[2n] {-1} $
Еще, известно, что выше данный интеграл будет равен сумме вычетов в особых точках, которые лежат в верхней полуплоскости, умноженное на $2 \pi i$

Подскажите, какой шаг следующий?

[ewert]

Katmandu в сообщении #862645 писал(а):

какой шаг следующий?

Честно выписать эти вычеты и сложить -- получится геометрическая прогрессия.

[Katmandu]

для всех $ x_k = \cos \frac {\pi + 2 \pi k} {2n} + i \sin \frac {\pi + 2 \pi k} {2n} $ , $k = 0, ... , n-1 $

рассмотреть $ f(x) = \frac {x^{2m} } { ( x - x_0) ( x - x_1) ... (x - x_{n-1}) } $

И для каждого пробовать считать вычет? Откуда здесь геометрическая прогрессия появляется

[ewert]

Katmandu в сообщении #862653 писал(а):

рассмотреть $ f(x) = \frac {x^{2m} } { ( x - x_0) ( x - x_1) ... (x - x_{n-1}) } $

Вот чего не надо, того не надо. Полюса-то ведь простые, поэтому вычеты разумнее считать через производную знаменателя.

Katmandu в сообщении #862653 писал(а):

Откуда здесь геометрическая прогрессия появляется

А кто заставлял Вас выписывать корни в тригонометрической форме? Естественно, надо в показательной.

[Katmandu]

Ну если $x_k = e ^ {i \frac {\pi + 2 \pi k } {2n} } , k = 0,..., n-1 $

то все равно нужно $(x - x_k)$ вынести из знаменателя, чтобы брать производную..

Или домножать $f(x)$ на $(x - x_k)$ и брать производную, после чего искать предел ?

[ewert]

Katmandu в сообщении #862661 писал(а):

то все равно нужно $(x - x_k)$ вынести из знаменателя, чтобы брать производную..

Вовсе нет. Это в общем случае так надо; но в частном случае, когда корень знаменателя простой... У вас должна была быть на этот счёт соответствующая теорема.

[Katmandu]

ewert в сообщении #862664 писал(а):

У вас должна была быть на этот счёт соответствующая теорема.

Должна быть теорема, по которой будем считать $ \operatorname{res}(f(x_k)) $ ?
В ряд Лорана раскладывать?

Про поиск через производную знаменателя - не слышал такую теорему.

[ewert]

Katmandu в сообщении #862679 писал(а):

Про поиск через производную знаменателя - не слышал такую теорему.

Очень плохо. Или ваше начальство халтурит, или Вы так его слушаете.

Теорема. Если $z_0$ -- простой корень $h(z)$, то $\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{z=z_0}\dfrac{g(z)}{h(z)}=\dfrac{g(z_0)}{h'(z_0)}$.

И это должен знать каждый!

[provincialka]

Получившийся результат можно проверить, если посчитать интеграл через В-функцию.