Равенство нулю во всех точках

[green_orange]

Пусть $P \in \mathbb{F}_p[x]$. Известно, что если $\forall x \in \mathbb{F}_p: P(x)=0$, то $P(x)=(x^p-x)Q(x)$.
Пусть теперь $P \in \mathbb{F}_p[x,y]$, $\forall x,y \in \mathbb{F}_p: P(x,y)=0$. Что тогда можно сказать про $P$? Верно ли, например, что $P=(x^p-x)Q(x,y)+(y^p-y)R(x,y)$?

[nnosipov]

green_orange в сообщении #862519 писал(а):

Верно ли, например, что $P=(x^p-x)Q(x,y)+(y^p-y)R(x,y)$?

Верно.

[green_orange]

Можно считать, что степени по обеим переменным меньше $p$. При подстановке любого $x$ получаем равный во всех точках нулю многочлен от $y$ степени меньше $p$, значит, он нулевой. То есть $P$ как многочлен от $x$ всегда равен 0, значит, делится на $x^p-x$, но его степень меньше $p$. Так можно делать?
И ещё подскажите, как эти свойства переносятся на многочлены над $\mathbb{Z}_n$, хотя бы при $n$ - степени простого.

[nnosipov]

green_orange в сообщении #862527 писал(а):

Так можно делать?

Ну да, как-то так.

green_orange в сообщении #862527 писал(а):

И ещё подскажите, как эти свойства переносятся на многочлены над $\mathbb{Z}_n$, хотя бы при $n$ - степени простого.

Можете прочитать прилагаемый ниже текст на эту тему.