Выпуклость преобразования

[MaxWriter]

Здравствуйте, уважаемые участники форума. Помогите, пожалуйста, разобраться с такой задачей.
Дано, что функция $f: R \rightarrow [0;+\infty]$ - выпуклая вниз. Доказать, что функция: $T_{\lambda}f(x)=\inf(f(y)+\lambda|x-y|,y\in R)$ также выпуклая вниз.

Хочу показать, что $T_{\lambda}f(tx_1+(1-t)x_2)\leqslant tT_{\lambda}f(x_1)+(1-t)T_{\lambda}f(x_2)$ для любых $x_1,x_2 \in R, t \in (0,1)$.

$$T_{\lambda}f(tx_1+(1-t)x_2)=\inf(f(y)+\lambda |tx_1+(1-t)x_2-y|,y \in R)= \inf(f(y)+\lambda |t(x_1-y)+(1-t)(x_2-y)|,y \in R)$$

$\leqslant \inf(f(y)+\lambda |t(x_1-y)|+\lambda(1-t)|(x_2-y)|,y \in R)$

И тогда

$$\inf(f(y)+\lambda |t(x_1-y)|+\lambda(1-t)|(x_2-y)|,y \in R)= \inf(f(ty+(1-t)y)+\lambda |t(x_1-y)|+\lambda(1-t)|(x_2-y)|,y \in R)$$

и из условия выпуклости функции $f$:

$$\inf(f(ty+(1-t)y)+\lambda |t(x_1-y)|+\lambda(1-t)|x_2-y|,y \in R)$$

$$\leqslant \inf(tf(y)+(1-t)f(y)+\lambda |t(x_1-y)|+\lambda(1-t)|x_2-y|,y \in R)$$

$=\inf(t(f(y)+\lambda |x_1-y|)+ (1-t)(f(y)+\lambda|x_2-y|),y \in R)$

Можно ли теперь утвержать, что последний $\inf$ равен сумме $\inf(t(f(y)+\lambda |x_1-y|))$ и $\inf((1-t)(f(y)+\lambda|x_2-y|))$ ? Если нет, тогда как в таком случае рассуждать? Заранее благодарен.

[мат-ламер]

Функция $T_{\lambda}f(x)$ есть инфимальная конволюция двух выпуклых функций, и поэтому сама выпукла. См. Р.Т.Рокафеллар. Выпуклый анализ. Конец первой главы.

[MaxWriter]

мат-ламер в сообщении #862409 писал(а):

Функция $T_{\lambda}f(x)$ есть инфимальная конволюция двух выпуклых функций, и поэтому сама выпукла. См. Р.Т.Рокафеллар. Выпуклый анализ. Конец первой главы.

Спасибо за ответ. Материал книги как раз разбираю. Но как получить утверджение, не строя теорий инфимальной конволюции выпуклых функций?

[MaxWriter]

мат-ламер в сообщении #862409 писал(а):

См. Р.Т.Рокафеллар. Выпуклый анализ. Конец первой главы.

В указанной книге доказательство факта про инфимальную конволюцию двух выпуклых функций проводится через ссылку на утверждение, которое по сути эквивалентно данной задачи... Пока не разобрался как это сделать, натолкните на мысль.

[мат-ламер]

MaxWriter в сообщении #862888 писал(а):

Пока не разобрался как это сделать, натолкните на мысль.

Как сделать что? К чему тут относится слово "это"? Извините, я не понимаю, где у Вас трудности. Я не телепат и не преподаватель. Вряд ли я смогу Вам помочь.

[MaxWriter]

мат-ламер в сообщении #863354 писал(а):

MaxWriter в сообщении #862888 писал(а):

Пока не разобрался как это сделать.

Как сделать что? К чему тут относится слово "это"?

Сделать это - то есть доказать утверждение, что $T_{\lambda} f$ - выпуклая функция. Трудности возникают с тем как доказать, что в последнем равенстве инфимум суммы будет равен сумме инфимумов, ведь в общем случае это не так.

[мат-ламер]

А последнее равенство неверно. Положите $f(y)=0, t=1/2, \lambda = 2, x_1=1, x_2=-1$.

-- Чт май 15, 2014 21:08:16 --

MaxWriter в сообщении #862888 писал(а):

проводится через ссылку на утверждение, которое по сути эквивалентно данной задачи...

Я эту эквивалентность не уловил. Но я особенно в ваши выкладки не вникал.

[MaxWriter]

Появилась другая идея, но не знаю правильно ли.

Корректно ли будет написать, что

$$T_{\lambda}f(tx_1+(1-t)x_2)=\inf(f(y)+\lambda |tx_1+(1-t)x_2-y|,y \in R)= $$

$=\inf(f(ty_1+(1-t)y_2)+\lambda |tx_1+(1-t)x_2-(ty_1+(1-t)y_2)|,y_1,y_2 \in R)$ ?

То есть в последнем равенстве инфимум берется по всем $y_1,y_2 \in R$