Система линейных дифференциальных уравнений

[Katmandu]

Дана такая система:

$$ \dot x = Ax, A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix} $$

Есть проблемы с решением.

Нашел собственные числа для матрицы $A$, $\lambda = 2$ , кратности $3$.

Количество собственных векторов для этого числа равно двум, а это меньше кратности числа.

Значит ищем вектора, которые будут составлять фундаментальную матрицу системы дифференциальных уравнений в виде:

$$ \varphi (t) = \begin{pmatrix} a+bt \\ c+dt \\ f+gt \end {pmatrix} e ^{\lambda t} $$

для того чтобы определить степень многочленов, стоящих в вектор столбце выше, нужно из кратности собственного числа вычесть число собственных векторов. В данном случае степень равна единице.

Мне кажется, что ошибка допущена уже на этом этапе. Ведь необходимо найти три вектора, которые будут составлять фундаментальную систему.
А продолжая решать, я получаю только два вектора.

P.S.: решал другим способом..., там получилось три вектора.

[Katmandu]

Хотя, разобрался. Все верно. Просто систему неверно решал.

-- 12.05.2014, 11:59 --

В общем решил еще через жорданову форму попробовать.

В ответе фундаментальная матрица имеет вид

$$ J(t) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1+2t \\ 0 & -1 & t \\ 1 & 0 & 3t \end{pmatrix} e^{2t} $$

.....
Для исходной матрицы $A$ собственное число $\lambda = 2 $ имеет алгебраическую кратность $3$ и геометрическую кратность $2$.
Значит ЖНФ будет иметь форму

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

откуда следует, что фундаментальная матрица системы будет иметь вид

$$ J(t) = \begin{pmatrix} 1 & t & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} e^{2t} $$

Можно ли сказать, что полученная фундаментальная матрица эквивалентна той, что в ответе?

-- 12.05.2014, 11:59 --

В общем решил еще через жорданову форму попробовать.

В ответе фундаментальная матрица имеет вид

$$ J(t) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1+2t \\ 0 & -1 & t \\ 1 & 0 & 3t \end{pmatrix} e^{2t} $$

.....
Для исходной матрицы $A$ собственное число $\lambda = 2 $ имеет алгебраическую кратность $3$ и геометрическую кратность $2$.
Значит ЖНФ будет иметь форму

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

откуда следует, что фундаментальная матрица системы будет иметь вид

$$ J(t) = \begin{pmatrix} 1 & t & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} e^{2t} $$

Можно ли сказать, что полученная фундаментальная матрица эквивалентна той, что в ответе?