Мера Лебега и Мера Лебега-Стилтьеса

[demolishka]

Есть одномерная мера Лебега $\lambda_{1}$ и мера Лебега-Стилтьеса $\mu_{g}$, порожденная функцией $g(x) = \begin{cases} x^{3} &\text{$x > -1$}\\ 3x^{3} &\text{$x \le -1$} \end{cases}$.
Есть лебеговское подмножество $E$ отрезка $[-3;2]$, причем $\mu_{g}(E)=12$.
Найти $\max\{\lambda_{1}(E)\}$ по всем таким $E$.

Для начала заметим, что $\mu_{g}(-1)=2$ и брать эту точку "невыгодно". Также можно выкинуть концы отрезка $[-3;2]$ и точку 0. Поэтому, можно считать, что $E \subset \{(-3;-1) \cup (-1;0) \cup (0;2)\} = X$. На лебеговских подмножествах $X$ верно следующее утверждение: $\lambda_{1}(E)=0 \Leftrightarrow \mu_{g}(E)=0 \ (1)$.

Также, для всех лебеговских множеств верен следующий факт об их представлении:
$E = \bigcup_{k = 1}^{\infty}(P_{k}) \cup C_{0} \ (2.1)$, где $\lambda_{1}(C_{0})=0$ и $P_{k}$ - замкнутые.
$E = \bigcap_{k = 1}^{\infty}(U_{k}) \ \backslash \ C_{0} \ (2.2)$, где $\lambda_{1}(C_{0})=0$ и $U_{k}$ - открытые.

Используя утверждение $(1)$ вместе с утверждением $(2.1)$ или $(2.2)$ можно уменьшить перебор множеств $E$ с лебеговских, до меньшего класса, выражающихся как $\bigcup_{k = 1}^{\infty}(P_{k})$ или $\bigcap_{k = 1}^{\infty}(U_{k})$.

Дальше у меня возникают затруднения.

Хотелось бы свести перебор только к множествам, представимым в виде счетного объединения открытых - тогда можно показать, что для достижения максимума меры Лебега на таком множестве будет выгодно наличие в нем интервалов с наименьшим значением производной функции $g(x)$.