2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Несобственный интеграл, зависящий от параметров
Сообщение11.05.2014, 23:55 
Взял курсовую в универе, попался такой интеграл (надо посчитать): $$\int_{0}^{\infty } \frac{e^{-\alpha x^2} - e^{-\beta x^2}}{x} dx$$ Подскажите как подходить к такого рода примерам.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл, зависящий от параметров
Сообщение12.05.2014, 00:02 
Или дифференцировать по параметру(ам), или интегрировать. Иногда годятся оба приема.

Эта задача быстро решается обоими, но перестановкой интегралов быстрее - меньше обосновывать.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл, зависящий от параметров
Сообщение12.05.2014, 00:52 
LORDIF в сообщении #862038 писал(а):
Подскажите как подходить к такого рода примерам.

Вынести какую-то из экспонент как множитель, оставшееся в числителе выражение (вида $1-e^{\gamma \, x^2}$) разложить в ряд Маклорена, сократить то, что получится, с $x$ в знаменателе, затем превратить общий интеграл в сумму интегралов и каждый в отдельности взять (поскольку после сокращения получится нечетная функция, сделать это будет несложно). Итого результат получится в виде разложения в ряд.

Если между $\alpha$ и $\beta$ есть какое-то простое соотношение, то ряд можно будет даже как-то свернуть, хотя, если курсовая не по чистой математике, то и предыдущего шага будет достаточно.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл, зависящий от параметров
Сообщение12.05.2014, 08:14 
Аватара пользователя
А еще есть полезный прием, называемый формулой Фруллани.

-- 12.05.2014, 09:20 --

Грубо говоря, вместо нуля ставите $\varepsilon$, расцепляете экспоненты в разные интегралы и пробуете заменить переменную так, чтобы получилось одно и то же.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group