Несобственный интеграл, зависящий от параметров

[LORDIF]

Взял курсовую в универе, попался такой интеграл (надо посчитать):

$$\int_{0}^{\infty } \frac{e^{-\alpha x^2} - e^{-\beta x^2}}{x} dx$$

Подскажите как подходить к такого рода примерам.

[Otta]

Или дифференцировать по параметру(ам), или интегрировать. Иногда годятся оба приема.

Эта задача быстро решается обоими, но перестановкой интегралов быстрее - меньше обосновывать.

[Pphantom]

LORDIF в сообщении #862038 писал(а):

Подскажите как подходить к такого рода примерам.

Вынести какую-то из экспонент как множитель, оставшееся в числителе выражение (вида $1-e^{\gamma \, x^2}$) разложить в ряд Маклорена, сократить то, что получится, с $x$ в знаменателе, затем превратить общий интеграл в сумму интегралов и каждый в отдельности взять (поскольку после сокращения получится нечетная функция, сделать это будет несложно). Итого результат получится в виде разложения в ряд.

Если между $\alpha$ и $\beta$ есть какое-то простое соотношение, то ряд можно будет даже как-то свернуть, хотя, если курсовая не по чистой математике, то и предыдущего шага будет достаточно.

[ex-math]

А еще есть полезный прием, называемый формулой Фруллани.

-- 12.05.2014, 09:20 --

Грубо говоря, вместо нуля ставите $\varepsilon$, расцепляете экспоненты в разные интегралы и пробуете заменить переменную так, чтобы получилось одно и то же.