Тождество с формальными рядами

[LDIJNWC]

Требуется доказать следующее тождество: $\frac{\pi x \cos\pi x}{\sin\pi x} = 1 - 2\sum_{k \ge 1}\frac{x^2}{k^2 - x^2}$. Ясно, что пользуясь равенством $\frac{\sin\pi x}{\pi} = x \prod_{k \ge 1}(1 - \frac{x^2}{k^2})$ это вроде бы нетрудно сделать, прологарифмировав его и получив $\ln\sin\pi x - \ln\pi= \ln x + \sum_{k \ge 1}\ln(1 - \frac{x^2}{k^2})$. Затем продифференцировать его и получить $\frac{\pi\cos\pi x}{\sin\pi x} = \frac{1}{x} - \sum_{k \ge 1}\frac{2x}{k^2 - x^2}$. Остается неясным только обоснование тождества $\frac{\sin\pi x}{\pi} = x \prod_{k \ge 1}(1 - \frac{x^2}{k^2})$.

Lia: при наборе обращайте внимание, что для стандартных функций предусмотрены стандартные команды и синус, например, пишется так:
\sin x. А не sin(x).
Также: буква сигма большая не используется как знак суммирования, для этого есть команда \sum. То же касается и операции произведения.
На первый раз формулы исправляю, в следующий раз делайте это сами.

[Otta]

Про мероморфные функции слышали когда-нибудь?

[LDIJNWC]

Нет, к сожалению.

[Otta]

Тогда, боюсь, ничего и не выйдет.
Откуда на Вас свалилось это тождество без должной артподготовки?

[LDIJNWC]

Первый курс, задача по дискретной математике. http://www.hse.ru/data/2014/04/18/13194 ... istok6.pdf

[Otta]

А первое задание Вы сделали? Сведите к нему.

[LDIJNWC]

Да, первое сделал. Но не понимаю, что Вы имеете в виду.

[Otta]

Ну а вот теперь берите каждое слагаемое в правой части второго, раскладывайте в ряд, считайте сумму их всех... получится.

[LDIJNWC]

Дошел до того, что остается нужным $1 -2(\Sigma_{n \ge 1}(\frac{z}{\pi})^{2n} + \Sigma_{n \ge 1}(\frac{z}{2\pi})^{2n} + \Sigma_{n \ge 1}(\frac{z}{3\pi})^{2n} + ...)$ свести к $1 + \Sigma_{n \ge 1}(-4)^n B_{2n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}$, но тут я опять в тупике

[Otta]

Ну ряды группируются - видно как. И получается вполне приличный коэффициент.
А вот тут дальше проблема: я не знаю, что Вы знаете.

[LDIJNWC]

Возможно я не правильно группирую, но вот, что у меня получается: $1 - 2(\Sigma_{n \ge 1}z^{2n}\Sigma_{k \ge 1}(\frac{1}{k\pi})^{2n})$

[Otta]

Да вроде правильно (я сильно, правда, не вглядываюсь)... а $\pi$ Вам сильно внутри второго ряда нравится?

[Deggial]

LDIJNWCСуммы набирайте с помощью команды \sum\limits, иначе я снесу тему в Карантин.

[LDIJNWC]

Нет, но не понимаю, к чему такой вопрос.

[Otta]

Ну так вынесите его, что оно в коэффициенте делает. А дзета-функция Вы тоже не знаете что такое?