задача N тел и атомы

[Granin]

Доброго времени суток.

Помогите пожалуйста разобраться. На данный момент с трудом решается задача с тремя телами в космосе. Первый вопрос, можно ли как-то популярно объяснить почему? Я прочёл пару статей но честно не понял.
Почему нельзя рассчитать взаимодействия. Вот к примеру если сталкиваются три объекта по классической физики, допустим три симметричных шара. Мы ведь можем рассчитать куда они отлетят. Почему так-же нельзя и тут? Если поделить всё пространство на пиксели, и рассчитать компьютером. Да больше данных, но на то они и компьютеры.

Второй вопрос, есть ли аналогия с атомами? Вот если мы хотим рассчитать взаимодействие молекул на атомном уровне. Реально ли это для большого количества атомов? Если да - то в чём разница между космическими объектами.
Если нет - возможно ли в будущем в теории и если да, то каким образом?

Заранее большое спасибо!

[ShMaxG]

Granin в сообщении #861666 писал(а):

На данный момент с трудом решается задача с тремя телами в космосе.

Поясните, что вы тут имеете ввиду. В общем случае не существует аналитического решения для задачи трех тел, однако сейчас это никому не мешает. Именно, для ограниченной круговой задачи трех тел существует огромное количество методов расчета (численного и полуаналитического) орбит и траекторий. Особенно последнее время чрезвычайной популярностью пользуется проектирование к гало орбитам вокруг точек либрации. И уже кажется, что тема это объезжена вдоль и поперек, получено много сведений о геометрии семейств траекторий и орбит.

Источник сложности содержится в гравитационном взаимодействии тел, непосредственно в формулах. Для задачи двух тел почти для всех зависимостей получаются выкладки аналитические, а начиная с задачи трех тел -- нет. Но современные компьютеры (да и несовременные) позволяют с любой точностью эти траектории рассчитывать.

Но вот что позволяет бороться со сложностью, так это геометрический подход: интерес не к конкретным решениям дифференциальных уравнений, а к множествам решений. Это т.н. инвариантные многообразия, связанные с точками либрации, которые появляются в задаче трех тел, чрезвычайно полезный инструмент построения траекторий в современной астродинамике. Это они ответственны за "хаотическое движение" в ньютоновской механике, которое впервые обнаружил Пуанкаре.

[Red_Herring]

Квантовомеханическая задача в общем никакого отношения к классической не имеет и в "чистом виде" фантастически сложна: достаточно сказать, что электронное облако описывается единой волновой функцией от $3N$ переменных не считая спиновых (антисимметрической). Однако есть приближенные методы, например Томаса-Ферми когда описывается электронное облако как единый "гидродинамический" объект. С точки зрения квантовой химии внутренними электронами можно пренебречь (но они экранируют часть заряда ядра) и вообще есть всякие приближения вроде теории возмущений (как и в классической задаче, но совсем в других рамках и темнинах)

[Munin]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #861697 писал(а):

Квантовомеханическая задача в общем никакого отношения к классической не имеет

Я слышал такое анекдотическое изложение ситуации:
- в классической механике не удаётся решить задачу 3 тел;
- в общей теории относительности не удаётся решить задачу 2 тел;
- (забыл)
- в квантовой теории поля не удаётся решить задачу 0 тел (описать вакуум).
Кажется, у Арнольда, хотя может, у кого-то другого.

[DimaM]

Granin в сообщении #861666 писал(а):

Почему нельзя рассчитать взаимодействия. Вот к примеру если сталкиваются три объекта по классической физики, допустим три симметричных шара. Мы ведь можем рассчитать куда они отлетят. Почему так-же нельзя и тут? Если поделить всё пространство на пиксели, и рассчитать компьютером. Да больше данных, но на то они и компьютеры.

Компьютером можно, и вполне себе считают. Проблема в том, что гравитация - сила дальнодействующая, поэтому приходится рассчитывать взаимодействие каждого тела с каждым, что дает $N^2$ членов. (Если тела скучковались, удается уменьшить до $N\log N$ ценой некоторой потери точности.)

[Pphantom]

DimaM в сообщении #861741 писал(а):

Если тела скучковались, удается уменьшить до $N\log N$ ценой некоторой потери точности.

В принципе, можно добиться даже $O(N)$, но ценой большой константы и сложности алгоритма.

[DimaM]

Pphantom в сообщении #861758 писал(а):

В принципе, можно добиться даже $O(N)$, но ценой большой константы и сложности алгоритма.

Я читал статью про $O(N)$, но, честно говоря, не смог разобраться, как оно получается.

[Pphantom]

(Оффтоп)

DimaM в сообщении #861768 писал(а):

Я читал статью про $O(N)$, но, честно говоря, не смог разобраться, как оно получается.

Записывается уравнение Пуассона для разложений потенциала и плотности по чему-нибудь (обычно для этой цели используются сферические функции, но, вообще говоря, можно взять и что-нибудь другое), находятся соотношения между членами этих двух разложений. Затем на каждом шаге интегрирования текущее распределение плотности (просто как сумма дельта-функций) приближается соответствующим разложением, по его членам получаются члены в разложении потенциала, после чего по потенциалу определяется текущее ускорение для каждой точки.

Конечно, этот метод (его принято называть "методом самосогласованного поля") пригоден только для сравнительно большого числа $N$, иначе нет смысла возиться, поскольку предварительная аналитическая часть (получение соотношений между членами разложений) и даже ее программная реализация сложнее, чем у tree-кодов и, тем более, чем у метода прямого суммирования.