Матрица оператора

[Alex1231]

Пусть линейный оператор $A$ в базисе $a_{1}=(1,2),a_{2}=(2,3)$ имеет матрицу $ \left( \begin{array}{cc} 3 & 5 \\ 4 & 3 \end{array} \right)$, а линейный оператор $B$ в базисе $b_{1}=(3,1),a_{2}=(4,2)$ имеет матрицу $ \left( \begin{array}{cc} 4 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} \right)$.
Найти матрицу оператора $A+B$ в базисе $b_{1},b_{2}$.
Как такое решать?)
Про формулу $A_{e'}=$T^{-1}A_{e}T $ знаю

[Munin]

Переведите матрицу $A$ в базис $b,$ а потом наплюйте на базис, и считайте всё, что вам нужно, просто с матрицами.

[Alex1231]

Спасибо, разобрался. Возник вопрос ещё по одному заданию.
Линейный оператор $A$ в базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3} $ имеет
матрицу A. Найти его матрицу в базисе$ f_{1} , f_{2} , f_{3}$, если:
$ A = \left( \begin{array}{cccс} 1 & -18 & 15 \\ -1 & -22 & 20 & \\ 1 & -25 & 22 & \end{array} \right)$, $ e_{1} = (8, -6, 7) , e_{2} = (-16, 7,-13), e_{3} = (9, -3, 7); f_{1} = (1, -2, 1), f_{2} = (3, -1, 2), f_{3} = (2, 1, 2). $
Не знаю, правильно делал или нет. Составил матрицу перехода из базиса $e$ в стандартный базис, потом матрицу перехода в базис $f$ и обратную к ней.
А вообще, какой здесь самый короткий способ решения?

[Munin]

Давайте подумаем. Что мы имеем: матрицу $A_{(e)},$ матрицу перехода $T_{(e1)},$ матрицу перехода $T_{(f1)}.$ Попробуем составить выражение того, что нам нужно:
$A_{(f)}=T_{(ef)}A_{(e)}T_{(fe)}=T_{(1f)}T_{(e1)}A_{(e)}T_{(1e)}T_{(f1)}=T_{(f1)}^{-1}T_{(e1)}A_{(e)}T_{(e1)}^{-1}T_{(f1)}.$

Теперь "упростите выражение". Причём имеем в виду, что операция произведения матриц - сравнительно "лёгкая", а операция взятия обратной матрицы - более "тяжёлая".

Хм-м-м, а особо-то и не упрощается. Можно, разве что, так:
$A_{(f)}=(T_{(e1)}^{-1}T_{(f1)})^{-1}A_{(e)}(T_{(e1)}^{-1}T_{(f1)})=(T_{(fe)})^{-1}A_{(e)}(\underbrace{T_{(e1)}^{-1}T_{(f1)}}_{T_{(fe)}}).$
Сэкономили одно умножение, но всё равно имеем два обращения. Обойтись одним обращением не знаю как.

[Lia]

Оффтоп отделен в «Сложность обращения матриц»