Помогите продифференцировать функционал

[Zhenia]

Друзья!

Есть фунционал

$$ I[\rho,T](x,t) = I_0\int\limits_0^x\alpha\!\!\left{(}\rho(\xi,t),T(\xi,t)\!\!\right{)}\,d\xi $$

Необходимо найти

$$ \frac{\partial I}{\partial \rho}, \quad \frac{\partial I}{\partial T}, $$

при этом $\alpha$ есть гладкая функция своих переменных, а $\rho$ и $T$ определены на некотором квадрате, например $0\leqslant x \leqslant x_0, 0\leqslant t \leqslant t_0$

Понимаю, что постановка вопроса звучит малость некорректно, поэтому немного расскажу, как дошел до жизни такой . Вожусь тут с одним численным методом, а именно методом Куранта-Изаксона-Риса для решения системы уравнений гидродинамики для невязкой жидкости.

Так вот. Если следовать книге, то для проведения вычислений необходимо знать частные производные от давления, которое есть гладкая функция плотности $\rho$ и температуры $T$. Но в моей задаче давление зависит еще от одной переменной: скажем, энерговыделения. Как вы уже догадались, это и есть $I$. Для конкретности можно считать, что

$$ p = p_0(\rho,T)B(I), $$

где $B$ и $p_0$ - гладкие функции своих аргументов. Следуя указанной книге, ищем, например, $\frac{\partial p}{\partial \rho}$ по теореме о дифференцировании сложной функции, и тут же сталкиваемся с необходимостью найти $\frac{\partial I}{\partial \rho}$.

Что скажете?
Всем спасибо!

[Brukvalub]

Zhenia писал(а):

Есть фунционал

$$ I[\rho,T](x,t) = I_0\int\limits_0^x\alpha\!\!\left{(}\rho(\xi,t),T(\xi,t)\!\!\right{)}\,d\xi $$

Необходимо найти

$$ \frac{\partial I}{\partial \rho}, \quad \frac{\partial I}{\partial T}, $$

Попробуйте для начала взять соответствующие производные по Гато, используя классическую теорему из анализа о дифференцировании по параметру определённого интеграла с параметром (формулу Лейбница).