2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Определитель.
Сообщение08.05.2014, 00:36 
Помогите найти определитель. Раскладывал по первой строке - получается рекурсивная формула. Но как такое решать?

\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 &  0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 &  \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 &  \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix}

Если второй (в правой части) определитель разложить по первому столбцу - получится тоже самое что и при 2, только меньшего порядка.
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}
 2 & 1 & \cdots & 0\\
 \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix}

 
 
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 01:27 
oxid в сообщении #860402 писал(а):
Если второй (в правой части) определитель разложить по первому столбцу

А зачем? Это же треугольная матрица, ее определитель можно вычислить сразу.

 
 
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 04:12 
Аватара пользователя
Pphantom в сообщении #860422 писал(а):
Это же треугольная матрица, ее определитель можно вычислить сразу.


Нет, там потом будут единицы на нижней побочной диагонали.

oxid в сообщении #860402 писал(а):
Но как такое решать?


Так и решать, $D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$, $D_1=2$, $D_2=3$. Ищите решение в виде геометрической прогрессии, получите 2 варианта, общее решение — их линейная комбинация, коэффициенты находятся из начальных условий.

 
 
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 06:46 
oxid в сообщении #860402 писал(а):
Помогите найти определитель. Раскладывал по первой строке - получается рекурсивная формула. Но как такое решать?
Есть такой задачник: Проскуряков "Сборник задач по линейной алгебре". Загляните в параграф 5, там много интересного про вычисление определителей $n$-го порядка.

 
 
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 07:24 
Аватара пользователя
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 &  0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 &  0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 &  0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix}
Поэтому $D_n=1+D_{n-1}$

 
 
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 08:03 
Аватара пользователя
TOTAL в сообщении #860465 писал(а):
Поэтому $D_n=1+D_{n-1}$


Не сходится.

 
 
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 08:22 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #860481 писал(а):
TOTAL в сообщении #860465 писал(а):
Поэтому $D_n=1+D_{n-1}$
Не сходится.
Что "не так"?

 
 
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 08:52 
Аватара пользователя
А, нет, всё правильно, я просто долго не мог осознать, что $n=2(n-1)-(n-2)$.

-- Ср, 07 май 2014 22:55:32 --

Геометрическая прогрессия там получается со знаменателем 1, причем этот корень кратный, поэтому решения имеют вид $c_1 n+c_2$.

 
 
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 23:56 
TOTAL в сообщении #860465 писал(а):
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 &  0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 &  0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 &  0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix}
Поэтому $D_n=1+D_{n-1}$


С помощью прогрессии я решение нашел. Спасибо! А можете про это подробнее рассказать? Почему там 1 ?

 
 
 
 Re: Определитель.
Сообщение09.05.2014, 07:17 
Аватара пользователя
oxid, попробуйте вычитать столбцы слева направо. Ну, или строки сверху вниз.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group